f- »' = x, on a

= ax — = a [x -f- x -{- x -f" ... -f- x + x)

ce qui donne, pour déterminer #, l'équation

ax11 -f- «#" + oxn~ -|- . . . -{- ax + ax — P = 0,

équation complète de degré n qu'on ne sait pas résoudre, élémentairement, dès que n dépasse la valeur 2 (J). D'ailleurs, pratiquement, ce problème ne se présente jamais.

Dans le cas où l'inconnue est le nombre n des placements, le problème n'a de sens que si la solution est un nombre entier. Le problème se résoud, facilement, au moyen des tables. Il suffit de chercher, dans la colonne correspondante au taux r, la valeur de m pour laquelle l'expression

est égale à -. Par les logarithmes, on a aussi, facilement,

log [(1 + r)n — l] = log P + log r + colog a -f colog (l +r)-

Ayant, ainsi, calculé (1 + rT — 1, on a (1 + r)n. Supposons qu'on ait trouvé

(1 + r)" = A, on en tire

log (1 + r)

(1) On pourrait résoudre le problème, approximativement, en cherchant, dans les tables qui

donnent les valeurs de (1 -f r) , quelles sont les deux valeurs de r telles que,

pour le nombre n d'années donné, les valeurs correspondantes de (l -f r) - com-

p prennent le quotient -. La plus petite de ces deux valeurs de r sera une valeur approchée,

par défaut, du taux cherché.

ANNUITES ET AMORTISSEMENTS. 463

Si n n'était pas un nombre entier, on aurait une solution approximative en prenant pour n la partie entière du quotient.

— On appelle valeur actuelle d'un placement a placé, à intérêts composés, pendant n années, au commencement de chaque année, le capital V qu'il faudrait placer au commencement de la première année pour obtenir, parce placement unique, au bout des n années, le même capital que celui qu'on obtient par les n placements annuels.

D'après la formule des intérêts composés, on a, évidemment,

(1 + r)n d'où

V=-fl + r)fl ~1.

'* ;L (1 + rfJ

L' 'Annuaire du Bureau des Longitudes contient, aussi, des tables donnant les valeurs de

pour les valeurs usuelles de r et n.

150. Annuités. — On appelle annuités des versements égaux effectués, pendant un certain nombre d années, à la fin de chaque année (l). Chaque annuité est placée à intérêts composés.

Le problème le plus général des annuités est le suivant :

Problème. — Quel est le capital C produit par n annuités a versées, à la fin de chaque année, pendant n années? (r étant le taux de V argent).

Ce problème se traite de la même façon que celui des placements annuels, la seule différence est que chaque versement, étant effectué à la fin de l'année, reste placé pendant un an de moins. Ainsi, la première annuité ne reste placée que (n — 1) années, la seconde (n — 2) années, l'avant-dernière une année, et la dernière annuité ne rapporte aucun intérêt. On a, alors, immédiatement,

(I) On donne quelquefois, d'une façon incorrecte, le nom d'annuité» aux placements annuels effectués au commencement de chaque année. Ordinairement, le nom d'annuités est réservé, comme nous l'avons fait, aux versements effectués à la fin de chaque année, versements qui servent à rembourser une dette ou à fournir une rente temporaire d'un capital placé a fonds perdus.

et, comme le second membre est la somme des termes d'une progression géométrique, on a :

C=aK ^ } 1 (2),

qui est la formule générale des annuités.

Cette formule, de même que la formule (1) des placements annuels, n'est pas calculable par logarithmes. Pour les calculs pratiques, on

a construit des tables donnant les valeurs usuelles de i

c'est-à-dire le capital produit par une annuité de 1 franc placée pendant n années, à la fin de chaque année, au taux r. On trouve une de ces tables dans Y Annuaire du Bureau des Longitudes.

La formule (2) donne lieu aux mêmes remarques que la formule (1 ) des placements annuels. On peut imaginer quatre formes de problèmes sur les annuités, suivant que l'inconnue est Tune des quatre quantités G, a, r, ou n, et ces problèmes se résolvent de la même façon que les problèmes analogues de placements annuels.

— On appelle valeur actuelle d'une annuité a, versée pendant n années, à la fin de chaque année, le versement unique qu'il faudrait faire, au commencement de la première année, pour obtenir, au boiit des n années, le même capital que celui qu'on obtient par les versements des n annuités.

Soit V la valeur actuelle, on a, évidemment,

Exemple. — Une personne À désire faire, à une autre personne B, une rente de 1 000 francs par an, pendant vingt ans. A cet effet, elle verse, une fois pour toutes, une certaine somme dans une maison de banque, qui se chargera de servir la rente pendant les vingt années, à la fin de chaque année. Quelle est la somme que lajpersonne À devra verser à la banque? Le taux de l'argent étant

La somme à verser est évidemment, la valeur actuelle V d'une annuité de 1000 francs versée pendant 20 ans.

On applique donc la formule

où

a = 4 000, r = 0,035 el n= 20.

On trouve, dans les tables de Y Annuaire du Bureau des Longitudes, pour

r = 0,035 et n = 20,

- f 1 —nl = 14,212403;

la somme à verser est donc,

151. Amortissements. — Amortir une dette ou un emprunt, c'est rembourser cette dette ou cet emprunt par les versement? d'un certain nombre d'annuités.

Il y a deux sortes de questions d'amortissement suivant que les annuités précèdent l'échéance de la dette ou suivent le jour de l'emprunt.

I. La liquidation d'un capital, remboursable au bout d'un certain nombre d'années, peut s'opérer par un paiement intégral à l'échéance ou par le versement, chaque année, d'une annuité.

L'accumulation des annuités et de leurs intérêts composés reconstitue, à l'époque de l'échéance, le capital. Après le versement de la dernière annuité, la dette est éteinte, amortie.

Le calcul de l'annuité à verser, pendant n années, pour éteindre la dette G, s'obtient en appliquant la formule (2) (n° 150) qui donne le capital constitué par n annuités égales ha:

d'où on tire :

fl-C

r La quantité est ce qu'on appelle le taux de l'amortis-

(l+r)H— 1 sèment. V Annuaire du Bureau des Longitudes contiennes tables qui donnent les valeurs de ce taux, pour les valeurs usuelles de r et n. Si on désigne par t le taux de l'amortissement, la formule (4) s'écrit

Les questions d'amortissement peuvent affecter quatre formes

Algèbre £l£mbktairi£. 30

différentes, suivant qu'on prend pour inconnue une des quatre quantités a, C, r ou n. 11 faut ajouter, à cela, les questions où, au lieu de se donner les deux quantités a et C, on se donne leur quotient qui est le taux t de l'amortissement.

Exemple I. — Quelle est l'annuité qu'il faut verser, pendant 12 années, pour amortir un capital de 50000 francs, payable à la fin de la douzième année? le taux de Vintérét étant 4 %.

Les tables donnent, pour r = 0,04, n = 12, la valeur du taux de l'amorti ssement :

On a, donc,

a = 50000 X 0,066 552 = 3327fr, 60.

Un problème courant est le suivant :

Combien d'années faudra-t-il pour amortir un capital quelconque* /<• taux de V amortissement étant t et le taux de l'intérêt étant r? On a, par définition du taux t de l'amortissement,

(1 + >f-l doù

et

'og (< + *•) + colog t (K

n~ log (1 + r) {5J-

Pour faciliter les calculs, on a construit des tables donnant les valeurs de n, pour les valeurs usuelles de / et r {Annuaire du Bureau des Longitudes).

Exemple II. — En combien d'années pourra-t-on amortir un capital de 500000 francs en payant des annuités de 10000 francs? le taux de iïnltrét étant 3 */* •/-

Le taux de l'amortissement est

La table du taux de l'amortissement donne, pour t = 2 % et t» = 3Vt */•» la réponse :

29 ans 148 jours*

Le nombre des années trouvé n'est pas entiei: A priori, il semble que la solution ne doive comporter qu'un nombre entier et que toute solution fractionnaire doive être rejetée. Voici comment on peut expliquer cette solution. On versera, d'abord, 29 annuités, de 10000 francs chaque, qui produiront au bout de 29 années un capital de

De plus, on versera une annuité complémentaire au bout de 148 jours. Or, au bout de 148 jours, le capital est devenu, à intérêts composés,

489107,99 X (1,035)^ = 496074fr,45.

11 restera donc, pour compléter les 500000 francs, à payer une annuité supplémentaire de

152. II. — Un Ëtat fait un emprunt remboursable en un certain nombre d'années. A cet effet, il paie, chaque année, une annuité dont une partie sert à payer les intérêts de la dette, ce qu'on appelle la renie de l 'emprunt, et dont l'autre partie est ce qu'on appelle Y amortissement de V emprunt et est destinée à rembourser une partie de l'emprunt.

Le calcul de l'annuité à verser pendant n années pour amortir un emprunt A se fait en écrivant que la valeur actuelle de l'annuité a, versée pendant n années, à la lin de chaque année, est égale à A. On appliquera donc la formule (3) (n° 150) dans laquelle on fera

On a donc, pour calculer a, la formule

r (1 + r)" d'où on tire :

Ar (1 +?•)" a-(i + r)»l (6)-

Si on désigne toujours par / le taux de l'amortissement

cette formule peut s'écrire :

qui montre que l'annuité a est l'annuité qui amortirait le capital À (1 -j- r)n payable dans n années. Ceci est naturel, puisque A(l -f- rT est ce que devient l'emprunt A au bout des n années.

Donc, pratiquement, pour faire le calcul de l'annuité, on calculera d'abord, au moyen des tables, ce que devient l'emprunt, à intérêts composés, au bout des n années, puis, au moyen des tables donnant le taux d'amortissement, on calculera l'annuité nécessaire pour amortir ce capital.

Exemple. — Quelle est l'annuité nécessaire pour amortir un emprunt de 125000 francs en 30 ans, le taux de Vintérèt étant 4 •/.? On a, ici,

Les tables donnent :

(1 -f rf = 3,243398 el

Ce qui donne :

La formule (6), que nous avons déduite des formules sur les annuités, s'établirait, facilement, d'une autre manière qui mettrait en évidence le mécanisme de l'amortissement.

Au bout de la première année, la dette est devenue A (1 + r) ; lorsque l'annuité a est payée, la dette n'est plus que de

Pour qu'il y ait, réellement, amortissement, il faut que a soit plus grand que l'intérêt Ar de l'emprunt. L'annuité a sert donc, d'une part, à payer la rente Ar et, d'autre part, à payer Y amortissement a — Ar.

Au bout de la seconde année, la dette est devenue

et, après le paiement de la seconde annuité, cette dette n'est plus que

OU

Avant le paiement de la troisième annuité, la dette est

[A(l+r)'-a(l+r)-o](l + r), elle est donc, après le paiement de cette troisième annuité,

A (i + rf — fl(l + r)* — a (l + r) - a.

On reconnaît la loi, et on voit, qu'après le paiement de la niàme annuité, la dette est

A (l + r)n— a (l + rf^—a (1 + r)""2 .... — a{i+r) — a.

Pour que la dette soit amortie, au bout des n années, il faut donc que Ton ait :

ce qui s'écrit :

et conduit à la formule (6).

Calculons les amortissements successifs. Le premier amortissement a4, est, comme nous l'avons vu,

L'intérêt simple de la dette pendant la seconde année est

Le second amortissement est donc :

ou

aLà={a-kr){l+r)=*l(\ + r).

Au commencement de la troisième année, la dette est

A(I + r)2 — a(i + r) — <i, l'intérêt, au bout de cette année, est donc :

et l'amortissement est

«8 = a - [A (1 + rf - a (1 + r) - a] r ou

*$=(a-kr) (1 + r)1 = at (1 + r)f;

et ainsi de suite, le piéme amortissement est

a„= (a - Ar) (l + rf1 = «, (1 + r)^1.

On voit donc que /es amortissements successifs forment une progression géométrique croissante de raison (1 -f- r) (').

On peut, d'ailleurs, vérifier que la somme des n amortissements est égale à l'emprunt A, car on a :

«4 + «i + ... + «„ = [« - Ar] [1 + (t + r) + .... + (1 + r)—]

Si on remplace a par sa valeur, fournie par la formule (6), il vient, après les simplifications : .

153. Les grandes sociétés industrielles, et notamment les Compagnies de chemins de fer, émettent des emprunts, sous forme d'obligations, qui rapportent aux souscripteurs un intérêt annuel et sont amorties au bout d'un certain nombre d'années. Par exemple, dans les chemins de fer, les Compagnies n'ont une concession que pour un temps limité. Au bout de ce temps, le chemin de fer revient de lui-même à l'État. Le capital se trouverait perdu si, outre les intérêts, une certaine somme n'était pas prélevée, sur les bénéfices, pour amortir l'emprunt, de façon, qu'à la fin de la concession, l'emprunt soit complètement amorti.

Soit N le nombre des obligations, v la valeur nominale de chacune d'elles, c'est-à-dire le prix auquel elle doit être remboursée, « le nombre d'années que dure l'amortissement et r le taux de l'intérêt. L'emprunta amortir est N«, l'annuité à fournir par la Compagnie, est donc,

t désignant le taux de l'amortissement.

(i) On peut encore remarquer quo le piïme amortissement et/» est ta valeur acquit* parle premier amortissement a% placé, à intérêts composés , pendant (p — I) années.

Quand une Compagnie fait un emprunt, on fait, d'avance, le calcul de l'annuité et des divers amortissements annuels ap a„ ... ottt, de

façon à connaître, d'avance, le nombre d'obligations qui seront remboursées chaque année. *

Exemple. — Une Compagnie a émis un emprunt de 10000 obligations, de 500 francs chacune* au i" janvier 1872. La concession cesse le i" janvier 1914. Quels seront l'annuité à verser par la Compagnie et les divers amortissements annuels? Le taux de l'intérêt est de 4 Va */..

La durée de l'amortissement est de 42 ans. Nous aurons l'annuité a par la formule

tt= Nu (1 + r)H t

où

N = 10000, v = 500, r = 0,045, et n = 42.

On trouve, dans les tables d'intérêts composés et d'amortissement :

On tire de là

a = 10000 X 500 X 7,574418 X 0,008409 = 31846Ôf',44.

L'annuité à payer se décompose en intérêt et amortissement. Le premier amortissement est

«4 = a — Nvr = 93 466fr, 44.

Les amortissements suivants se calculent en cherchant les valeurs acquises par a„ à intérêts composés, au bout de 1,2, 3, ... 41 années. On trouve ainsi :

«2= 97 672fp,42, <x3 = 102077f',04, a4 = 106 660^,76,

Le nombre des obligations à rembourser serait donc :

En 1873 186,93288,

En 1874 195,34484,

En 1875 204,15408,

En 1876 213,32152,

Comme les nombres qu'on trouve, pour les nombres d'obligations à rembourser, ne sont pas entiers, on rectifie ce tableau de façon à les rendre entiers en forçant, de temps à autre, le dernier chiffre d'une unité et de façon que la somme fasse 10000 obligations.

Cette modification change un peu la valeur de l'annuité à payer chaque année. Les annuités ne sont plus, alors, rigoureusement, égales entre elles.

154. Rentes perpétuelles. — La formule, qui donne l'annuité à payer pour amortir, en n années, un emprunt A, peut se mettre sous la forme :

Si l'on fait croître « indéfiniment, tend vers zéro et l'an-

nuité a tend vers une limite A **, qui est égale à l'intérêt annuel de l'emprunt. On a, dans ce cas, ce qu'on appelle des rentes perpétuelle*. C'est le mode d'emprunt le plus employé par les Étals. Les emprunts ainsi formés forment ce qu'on appelle la dette consolidée qui, en principe, n'est pas amortie. L'État se contente de payer, à ses créanciers, l'intérêt de l'argent prêté, se réservant le droit d'amortir sa dette d'irhe façon arbitraire ou même de ne pas l'amortir (').

225. Pendant combien d'années et de fractions d'années faudra-t-il placer une certaine somme, à intérêts composés, pour que cette somme soit doublée, le taux de l'intérêt étant 4*/,?

226. Calculer ce que deviendrait, en 8 ans, un capital de 3 625 francs placé, à intérêts composés, au taux de 4 •/.?

(bacc, Paris.)

227. A quel taux d'intérêt 4000 francs, placés à intérêts composés pendant 12 ans 3 mois, deviennent-ils 7235", 05?

t. Au bout de quel temps deux capitaux, placés à intérêts composés, l'un de 5000 fr. à 5 */•, l'autre de 8000 fr. à 3,5 */•> ont-ils la même valeur?

■Barbarin).

229. Calculer les taux semestriel, trimestriel, mensuel, quotidien équivalents au taux annuel de 4 »/•?

230. Une personne place, chaque année, au commencement de Tannée, au taux annuel de 5 •/•» pendant 20 ans, une somme de 500 francs, à intérêts composés. Quelle somme obtiendra-t-elle au bout de la vingtième année?

(Bacc, Nancy],

(1) Noos n'insistons pas ici sur le côté pratique des questions d'intérêts, car toutes ces questions ont été développées, a ce point de vue, avec soin, dans les Leçons d'arithmétique de M. Tannery. En particulier, celle des Rente» perpétuelle» fait l'objet des nw 397 à 401 de ce volume.

231. Un industriel a emprunté, le 1" janvier 1880, une somme de 33640 francs dont il s'est acquitté en deux paiements égaux de 19448fr, 10, chacun. Le premier de ces paiements a été effectué le 1" janvier 1882 et le second le 1" janvier 1884. On demande à quel taux exact l'emprunt a été fait, sachant que, pour ces sommes, on a tenu compte des intérêts composés.

{École navale. Concours de 1884.)

232. Une personne emprunte une somme de a francs pour deux ans; elle s'acquitte par deux paiements de b francs à la fin de la première et de la seconde année. A quel taux a-t-elle emprunté, les intérêts étant composés? — Discuter.

(Bacc, Dijon).

233. On doit payer chaque année une somme de 2000 francs pendant 12 ans; par quelle somme pourra être remplacée cette annuité si Ton ne veut faire qu'un seul paiement au bout de 4 ans, le taux de l'intérêt étant de 5 •/. ?

(Bacc, Paris).

(Pour résoudre la question, on écrira que les valeurs actuelles de l'annuité de 2000 francs et de la somme unique à verser sont égales).

234. Une personne s'engage à verser, à une Compagnie d'assurances, n annuités égales à a, à la condition que la Compagnie lui servira, pendant les 2n années suivantes, une rente annuelle égale à b; le premier de ces derniers paiements devait être effectué un an après le versement de la dernière annuité a. Les intérêts sont composés et le taux est de r pour un franc, par an. — On demande :

l- De calculer le rapport r ;

2° De déterminer la valeur que doit avoir le nombre n pour que le rapport ? ait

une valeur donnée p\ 3° D'appliquer la formule au cas où l'on aurait :

(Concours de r École de Cluny).

235. Calculer le montant de l'annuité à payer, pendant 45 ans, à la fin de chaque année, pour amortir un emprunt de 8500000 fr, à 3,5 •/».

[Institut agronomique).