KO
11 en résulte que le calcul des nombres de la forme (a, 0) est identique à celui de leurs premières parties. On n'introduira donc certainement aucune contradiction en faisant la convention suivante :
Tout nombre complexe dont la seconde partie est zéro est égal à sa première partie.
Donc, par convention,
Cette convention très importante fait rentrer les nombres positifs et négatifs dans les nombres complexes qui, ainsi, nous apparaissent comme une généralisation de ceux-là.
Les nombres complexes se groupent donc en deux classes : ceux dont la seconde partie est zéro, qui sont les nombres positifs et négatifs, et qu'on nomme nombres réels; ceux dont la seconde partie est différente de zéro et qu'on nomme d'ordinaire nombres imaginaires.
La convention précédente donne lieu à quelques remarques importantes.
Pour qu'un nombre complexe soit réel il faut et il suffit que sa seconde partie soit zéro. Une égalité de la forme
entraine donc la double égalité
a = c et 6 = 0,
car c n'est autre ebose que (c, 0).
11 résulte de là que pour qu'un nombre complexe soit égal à zéro, U faut et il suffit que ses deux parties soient nulles.
Ainsi
entraine a = 0, 6 = 0.
Dans ces conditions, la somme de deux nombres égaux et de signes contraires est égale à zéro, car
on emploie alors la notation ordinaire pour désigner un nombre égal et de signe contraire à un autre, en faisant précéder ce dernier du signe ( — ). Remarquons encore que le produit d'un nombre imaginaire par un nombre réel s'obtient en multipliant les deux parties du nombre imaginaire par le nombre réel. Car :
(rt, 6) X c = (a, 6) X (c, 0) = (ac, 6c). Par exemple,
160. Parmi tous les nombres complexes il en existe un dont le carré est égal à — 1, c'est le nombre (0,1). Car, d'après la règle de multiplication et notre convention,
On fait jouer, à ce nombre particulier (0, 1) un rôle spécial, et on le désigne d'ordinaire par i (1).
(i) Certains auteurs désignent ce nombre par y — 1, pour rappeler que son carré est égal à — 1. Cette notation a été généralement abandonnée pour éviter toute confusion. On aurait,
en effet, des tendances d'appliquer au symbole y — 1 le calcul des radicaux, ce qui conduirait aux erreurs les plus grossières.
480 ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.
On a :
en désignant par — i le nombre égal et de signe contraire à i :
Ensuite,
i8 = 1, etc..
Les puissances successives de ce nombre i se reproduisent donc périodiquement, de 4 eu 4, et sont
Théorème. — Tout nombre complexe peut se mettre sous la forme de la somme d'un nombre réel et du produit du nombre i par un nombre réel. On a, en effet,
(a, 6) = (n,0) 4- (0,6); or (a,0) = a,
par convention, et
Donc
(0,6) = 6 (0,1) = bi.
(a, 6) = a + bi.
Cette proposition, très importante, nous permet d'abandon uer la notation (a, 6). Dorénavant nous écrirons toujours un nombre complexe sous la forme
Cette nouvelle forme permet de retrouver très facilement, sans effort de mémoire, les règles de calcul des nombres complexes. Puisque, comme nous l'avons vu, les opérations sur les nombres complexes jouissent des mêmes propriétés que celles des nombres réels, il suffira :
Pour obtenir le résultat d'une opération quelconque, effectuée sur des nombres complexes, mis sous la forme a + bi, de faire les opérations suivant les régies ordinaires du calcul algébrique en ayant soin de remplacer les puissances i*, i3, i4, i5, etc., du nombre i, respectivement par leurs valeurs — 1, — i, \, etc..
Ainsi,
(a + bi) + [a* + b'i) = a + a' + (6 + &')* ; (a + 6î) — (a' + 6'i) = a — a' + (6 — b')i; (a + bi) (a' + 6'i) = aa' + bVP + {abf + ba')i
ou , puisque
[n + bi) (af + h'i) = aa' — 66' + (ab' + &a')t; (a -f bi)* = as — 6* + 2a6t.
161. Module. — On appelle module d'une quantité complexe « + 6i la racine carrée arithmétique de la somme des carrés de sa partie réelle et
du coefficient de i. Ainsi, le module de a -f- oi est v^l> + &*• Le module d'une quantité réelle est sa valeur absolue, car
D'ailleurs, comme nous allons le montrer, le module d'une quantité
complexe joue le même rôle que la valeur absolue d'une quantité positive
ou négative. Pour cette raison, on emploie la même notation (deux barres
| | ) pour désigner le module d'une quantité complexe. On écrira donc,
| a + bi | = v^9 + h*.
Le module est une quantité essentiellement réelle et positive.
Théorème I (*). — Le module de la somme ou de la différence de deux quantités complexes est compris entre la somme et la différence des modules de ces deux quantités.
Soient
a + bi et a' + b'i
deux quantités complexes et
leur somme. Supposons
N'a* + o* > v af* + 6'*, il faut, alors, vérifier la double inégalité :
y/a* + 6* — y/a'* + bf* < vV + a')1 + (b + b')* < )/a* + 6» + yV» + V*. Les trois membres étant positifs, on peut élever au carré et on doit
avoir :
a* + 6* + «'* + *'* — 2vV* + *>*) (a's + b1*) < (a + a')8 + (6 + 67 ^ as 4. 6* + a'* + 6" -f- 2 y/ (a* + 6») (a'« + 6") ;
ce qui devient, en simplifiant,
(i) On pourra rapprocher ce théorème et les suivants des théorèmes du n# il et du théorème I du n* 15.
Algèbre élémentaire. 31
Pour que cette double inégalité soit remplie, il faut et il suffit que la
valeur absolue de aa' + 66' soit plus petite que V(«* + 6*) (a'* 4- 6'4) ; et, pour cela, il faut et il suffit que le carré de aa' + 66' soit plus petit que le
carré de \'(a* + 6») (tf* + 6'*).
On doit donc avoir
(aa' + 66')* < (a* + 6») («'» + 6'»}, ce qui donne, en simplifiant :
ou •
0 < {aV — ba')\
ce qui a bien lieu (*).
Remarque. — Il n'y a égalité que dans le cas où
abf — ba' = 0, c'est-à-dire où
Désignons par A le quotient — on aura, évidemment,
« + ai a/ + 6't - *•
Le quotient des deux quantités complexes est donc réel.
Il est, d'ailleurs, facile de distinguer de quel côté a lieu l'égalité, car
mi + 66' est évidemment égal à -f V(«a + &*) («'* + &'s) ou à ^(a* + 68) (a'* -4- 6'*) suivant qu'il est positif ou négatif. Or, puisque
aa' + 66' = k (a'* + 6"),
aa' + 66' est du signe de A.
Le module delà somme de deux quantités complexes est donc égal à la somme de leurs modules si leur quotient est réel et positif.
Le module de la somme est, au contraire, égal à la différence des modules si le quotient est réel et négatif.
Corollaire. — Le module d'une somme de plusieurs quantités complexes est inférieur ou au plus égal à la somme des modules de ces quantités.
Ce corollaire se déduit du précédent de la même façon que le théorème II du n° 11 se déduit de celui qui le précède.
(1) 11 n'est pas nécessaire de recommencer la démonstration pour la différence, puisque la différence de deux quantités est la somme de rnne d'elles et de la quantité égale et de signe contraire à l'autre.
NOMBKES COMPLEXES. 483
Théorème II. — Le module du produit de plusieurs fadeurs est égal au produit des modules de ces facteurs.
1° Cas de deux facteurs.
Soit le produit
[a + bi) [a' + b'i) = aa' — bbf + [abf + ba% Il suffit de vérifier l'identité
Va* + b* \/«'* 4- 6'» ^ VW — M')1 + («6' + ba'f ;
ce qui, en élevant les deux membres au carré, est l'identité de Lagrango (n- 42, App. III).
2" Cas de plusieurs facteurs.
Soient a, 0, 7, £ quatre nombres complexes (*). En considérant le produit a3f£, comme le produit des deux facteurs «ffy et £, on a, d'après ce qui précède,
De même, en considérant «ffy comme le produit de a0 par 7, on a :
I «ft I = I «M X I 7 I
|4rt|«|«p|xiTlx|*|;
et, enfin, comme
1 «P | = l « | X I P | , on a, finalement,
|«Pt| = |«|XlMXhlX|*|.
Corollaire. — Pour qu'un produit de facteurs complexes soit nul il faut et il suffit qu'un des facteurs soit nul.
Remarquons, d'abord, que, pour qu'une quantité complexe soit nulle, il faut et il suffit que son module soit nul, car l'égalité
Va* 4- 6* = 0 entraîne les deux égalités
a = 0 et 6 = 0
ou
a + bi = 0,
et réciproquement.
(I) Les nombres complexes jouissant des mêmes propriétés que les nombres positifs ot négatifs, nous pourrons, dorénavant, les désigner par une seule lettre, lorsqu'il n'y aura pas nécessité de distinguer les deux parties, et les traiter dans les calculs comme les précédents.
Pour qu'un produit soil nul, il faut donc et il suffit que son module et, par suite, le produit des modules de ses facteurs, soit nui. Or, pour que le produit des modules des facteurs soit nul, il faut que l'un au moins des modules et, par suite, l'un au moins des facteurs soit nu).
Théorème III. — Le module du quotient de deux quantités complexes est égal au quotient des modules de ces deux quantités.
Soit 7 le quotient des deux quantités complexes a et p. Par définition du quotient, on a
* = Pif et, par suite, d'après le théorème précédent,
d'où on tire :
ItI =
|er
162. Quantité! conjuguées. — Deux quantités imaginaires sont dites conjuguées lorsqu'elles ont même partie réelle et que les coefficients de i sont égaux et de signes contraires.
Ainsi, les deux quantités
a + bi et a — bi
sont conjuguées.
Deux quantités conjvgées ont même module. La somme de deux quantités imaginaires conjuguées est réelle, car
(a + bi) + (a — bi) = 2a.
Le produit de deux quantités conjuguées est réel et égal au carré de leur module commun, car
(a + bi) (a — bi) = a* — ô*i* = a* + ô*.
D'ailleurs, réciproquement, si la somme et le produit de deux quantités imaginaires est réel, ces deux quantités sont conjuguées. La somme des deux quantités a + bi et a' + b'i est, en effet,
et leur produit
On doit avoir
aa' — W + («6' + ba')i.
b + b' = 0 et ab' + ba' = 0.
La première égalité donne :
b' = — b et la seconde devient
Or, puisque la quantité a + bi est imaginaire, b est différent de zéro, on doil donc avoir
Remarque. — On obtient facilement l'expression du quotient de deux quantités complexes, sous la forme a 4- bi, en multipliant les deux termes de la fraction par la quantité conjuguée du dénominateur. Ainsi,
a -i- bi (q + bi) {a' — b'i) aa' 4- W + (ba* — ab')i a' 4- 6'ï ~~ \a' + b'i) [a' — b'i) ~~ a'* + 6'»
et on retrouve l'expression du quotient (n° 158) :
a + bi an' 4- bb' ba' — abf . a! + b'i ~~ a'* + 6'2 ~*~ a'* + 6'*?*
