OU

Remarque. — En combinant ce théorème avec le précédent, on pourra en conclure des cas où on pourra affirmer ce qui arrive lorsqu'on divise des inégalités de sens contraires membre à membre.

Si a>b,

et si c et d sont de même signe et non nuls ; 1° Si a et d sont positifs, on a :

2° Si a et d sont négatifs, on a :

Car, c et d étant de même signe, on a :

en multipliant membre à membre

1 1 a > 6 et - > - ,

on arrive aux résultats annoncés.

Dans d'autres cas, on ne pourrait encore rien affirmer.

I t . » Il

Théorème IV. — Etant données plusieurs fractions, ayant des dénominateurs tous de même signe, la fraction qui a pour numérateur la somme des numérateurs et pour dénominateur la somme des dénominateurs est comprise entre la plus grande et la plus petite de ces fractions.

a a! a'1 a'" Soient-, — , — , — des fractions, b, b\ b" et V" étant de même

signe, on a :

p désignant la plus grande de ces fractions et q la plus petite. En effet, on a, par hypothèse,

a<i<ih q<-p<p, q<y,<p> q<-pr,<P'

Supposons d'abord b, b', b" et b"' positifs. On a, alors,

*? ^ a ^ àPi b'q ^ a' ^ bp,

D'où, en ajoutant ces inégalités membre à membre (no 13), bq -f b'q + b"q + b'"q < a + a! + a " + a'" < bp + b'p + b"p + V"p ou

Or, ô -f 6' -f b" + ô" étant positif, on a, en divisant les trois membres par ce nombre,

fl + a/ + g" + a-<> q "^ b + *' + i" + 6'" "^ ^'

Supposons, en second lieu, b, b', b" et b'" négatifs. On a alors,

bq ^ a ^> bp, b'q > «' > *>, b"q > «" > 4"p, b'"q > «'" > 6">,

58 AI.GÉBKK ÉLÉMENTAIRE.

d'où, en ajoutant,

(é + v + b" + *'") q^a + a' + a" + a"' ^(b + b' + b" + b'")p. Or, comme b + b' + b" + br ' est négatif, on en conclut, encore :

Le théorème est donc vrai dans tous les cas où b,b\ b" et b'" sont de même signe.

Exemples : Soient les fractions :

on a :

Zli ^ — 1 + 1—5 + 3 — 4 3 6 < 2 + 3 + 6 + 4 + 25 < 4 "

De même, soient les fractions :

on a :

— 5 <* — 3 — 7 — 5 — io — 8 *" — 7

EXERCICES