Racine carrée d'nne quantité complexe

Théorème. — Étant donnée une quantité complexe a + bi, il existe toujours deux quantités complexes, égales et de signes contraires, et deux seulement, dont les carrés sont égaux à a 4- bi-

Il s'agit de trouver une quantité x 4- fy dont le carré soit égal h a + bi. On doit donc avoir :

(x + yi)2 = a 4- bi ou :

x* — y* + %&yi = a 4- oi.

Ceci entraine les deux égalités

On est, ainsi, ramené à trouver toutes les solutions réelles du système(i) de deux équations à deux inconnues x et y. Pour résoudre cette question, nous distinguerons trois cas.

1° b = 0, a > 0. — La quantité « 4- bi est réelle et positive. Le système (1) devient :

( a* — t/2 = a, 2xy = 0.

La seconde équation donne soit x = 0, soit y = 0. Si on prend x = 0, la première égalité donne

— ya = a,

équation qui n'a pas de solutions réelles. Prenons, alors, y = 0, la première équation devient

qui a deux solutions

x = 4- vV * =='— V«-

Il y a donc deux racines carrées, et deux seulement, qui sont + \Ja et — \/a, toutes deux réelles.

2° 6 = 0, a < 0. — La quantité a + bi est réelle mais négative. Le système (i) prend encore la forme (2), mais ici la solution y = 0 est à rejeter, car elle donne, pour déterminer x,

équation qui n'a pas de solution réelle, puisque a est négatif. Si on prend x = 0, on a, pour y,

— y* = a, équation qui a deux racines réelles :

y = + \/~ a, y = — V— «• Il y a encore deux racines carrées et deux seulement. Ce sont

+ *v — a et — *V — a-

Nous arrivons donc à ce résultat important que :

Tout nombre réel négatif a deux racines carrées imaginaires.

Ainsi, le nombre — la deux racines carrées qui sont

+ i et — i.

3° 6 t£ 0. — Le nombre a + W est imaginaire. Les deux nombres a; et y sont certainement différents de zéro, puisque b est différent de zéro. On lire, alors, de la seconde équation du système (i),

Ce qui donne, en portant cette valeur de y dans la première, l'équation bicarrée

4x* — 4aa* — 6* = 0.

Le produit — 6* des racines de la résolvante de cette équation étant négatif, cette résolvante a une racine posilive et une racine négative. L'équation bicarrée a donc deux racines réelles égales et de signes contraires :

provenant de la racine positive de la résolvante. A ces deux valeurs de x, correspondent, pour y, deux valeurs :

La quantité imaginaire a -{- bi a donc deux racines carrées qui sont

a / yV 4- 6» + a 2V 2

i 1 /Va2 + P +"<* , *> . j

et -)V 2 + ■ f , l<

Remarque. — Les deux valeurs de y peuvent se mettre sous une autre forme. Multiplions les deux termes de la fraction y par

et il vient : &

Or, V6* est égal à la valeur absolue de b. On a donc

y 6* = 6, lorsque b > 0 et y/b2 = — 6, lorsque 6 < 0.

Par suite, lorsque 6 > 0, on a :

et, lorsque b < 0, on a :

y = ± y/vÇTT^a.

Les signes supérieurs et inférieurs de ces formules correspondant, respectivement, aux signes supérieurs et inférieurs de la formule qui donne x. Il en résulte que, quand 6 > 0, les deux racines carrées sont

et, lorsque 6 < 0, les deux racines carrées de a -f bi sont

Exemples. — Le nombre i a deux racines carrées qui sont, en faisant dans les formules précédentes a = 0, b = i,

± ri. 4. i.

De même, en faisant a = 1, h = 1, on a les deux racines carrées de i + i qui sont

Résumé. — De tout ce qui précède, il résulte que les nombres complexes peuvent être soumis au calcul algébrique au même titre que les nombres réels (positifs et négatifs). Tout ce que nous avons dit dans les Livres I et II pourra donc subsister, sans modification, lors même que les lettres qui figurent dans les expressions représenteraient des nombres imaginaires. Ainsi, on résoudra des équations du premier degré à coefficients imaginaires de la même façon que les équations du premier degré à coefficients réels.

La seule différence qui existe entre les nombres imaginaires et les nombres réels, c'est que, les premiers étant dépourvus de signe, on ne peut pas définir ce qu'il faudrait entendre par un nombre imaginaire plus grand ou plus petit qu'un autre. Deux nombres imaginaires qui ne sont pas égaux sont inégaux, le mot inégal n'ayant ici que le sens de non égal. Tout ce qui est relatif aux inégalités ne peut donc s'appliquer qu'aux nombres essentiellement réels (*).

EXERCICES

236. Pour que le produit de deux quantités imaginaires soit réel, il faut et il suffit que le* deux parties de Tune d'elles soient proportionnelles aux deux parties de la quantité conjuguée de l'autre.

237. Montrer que toute quantité complexe a -f bi peut se mettre sous la forme :

« + * = 4nrF +,rrT-l

p désignant son module et t un nombre réel. 238. Dans l'identité

[ah' — ba')(cd' — &d) ss (ac + bd){a'c' + b'd') — lac + bd) ac' + bd'),

on pose :

a = ot + pi, b = y + ei, e = a' + 0'î, d = f + eï, d=— y + 8*\ 6' = a-pt\ c'=-.T' + *''\ <*' = a'-p'i.

(1) On ne peut pas songer à ranger les nombres imaginaires en comparant les modules, car deux quantités imaginaires non égales peuvent avoir le même module. Ainsi les quantités

1 db 2i et 2 -±. i

ont même module.

En déduire que le produit de deux sommes de quatre carrés est encore une somme de quatre carrés.