Considérons l'équation générale du second degré

(0 ax* + bx + c = 0,

où a, 6, c désignent des nombres réels ou imaginaires. Résoudre cette équation, c'est trouver tous les nombres réels ou imaginaires qui, substitués à la place de x, rendent le premier membre nul.

En suivant la même marche qu'au n* 87, on met l'équation (1) sous la forme équivalente

en supposant a différent de zéro.

Désignons, alors, par le symbole

vV — 4ac

l'un des deux nombres complexes dont le carré est égal à 6* — 4ac (nombres dont l'existence a été établie au n° 163) (*). L'équation (2) pourra se mettre sous la forme

•[(•♦èM*^)']-*

La quantité entre crochets, étant une différence de deux carrés, se décompose en un produit d'une somme par une différence et l'équation s'écrit

4*+è+^]hè-^]=*

a étant différent de zéro, pour que le premier membre de l'équation (4) soit nul, il faut et il suffit que l'un des deux facteurs entre crochets (n* 161) soit nul. 11 faut donc que l'on ait :

soit # + Ya + JLL~z^-::i:: = °»

v'fc1

4ac

kac

soit x + - v v ., = 0.

(1) Il faut remarquer que le symbole

V 6» — lac

n'a aucune signification arithmétique. Nous avons employé le signe v pour ne pas créer une notation nouvelle, mais il faudrait bien se garder de traiter ces symboles comme des radicaux arithmétiques et leur appliquer, par exemple, le calcul des radicaux. On serait conduit à de graves erreurs. Le calcul des radicaux ne s'applique essentiellement qu'aux radicaux arithmétiques.

Ce qui donne, pour x, toujours deux valeurs, réelles ou imaginaires, et deux seulement,

— b — \/b* — 4ac

/ % — b + \/b» — 4ac X "~ 2a

Nous retrouvons ainsi la formule générale de résolution d'une équation du second degré, mais qui, maintenant, a un sens dans tous les cas.

On peut donc dire que :

Toute équation du second degré, à coefficients réels ou imaginaires, a deux racines réelles ou imaginaires.

Dans le cas particulier où le discriminant 62 — 4ac est nul, ces deux racines sont confondues.

Lorsque les coefficients a, 6, c sont réels et que le discriminant 6* — kac

est négatif, l'un des nombres dont le carré est b1 — kac est i y kac — 6S (le radical ayant ici son sens arithmétique) et les deux racines sont données par la formule

— 6 =i= * *Jkac — 6*

Donc y lorsque dans une équation, à coefficients réels, le discriminant est négatif, cette équation a deux racines imaginaires conjuguées.

Exemples :

i* Résoudre V équation

Le discriminant est

dont une des racines carrées est 2/.

Les deux racines de l'équation sont donc

2" Résoudre V équation

Le discriminant est :

9(1 + if — 20* = — 2/, dont l'une des racines carrées est (n° 163)

Les racines de l'équation sont donc

et a, = » + "-« + < = , + 2,

3° Résoudre P équation

Le premier membre est divisible par x — { et l'équation s'écrit

L'équation admet donc, d'abord, la racine 1 et, en outre, les deux racines de l'équation

Ces deux racines sont

On peut remarquer que Tune quelconque de ces deux racines imaginaires est égale au carré de l'autre. Ainsi :

Si donc on désigne par j Tune d'elles, l'autre sera égale àj2.

Au fond, résoudre l'équation proposée c'est trouver tous les nombres (réels ou imaginaires) dont les cubes sont égaux à i. On peut donc dire que l'unité a trois racines cubiques qui sont :

Il y en a une réelle et deux imaginaires conjuguées. On peut, d'ailleurs, vérifier que

165. Si on désigne par x' et x" les deux racines de l'équation (i),

— b + V6* — kac

/ b - v'6f — toc

le premier membre de l'équation (1), mis sous la forme (4), s'écrit :

On a donc, toujours, l'identité

ax* + bx + c «: a(x — x') (x — x") (5).

Tout trinôme du second degré peut donc être décomposé en un produit de deux fadeurs du premier degré à coefficients réels ou imaginaires.

De l'identité (5) on conclut, alors, immédiatement les relations entre les coefficients et les racines (Voir n° 91)

qui, par conséquent, subsistent dans tous les cas.

Lorsque les coefficients a, 6, c sont réels, ces relations montrent que, si les racines x' et x" sont imaginaires, elles sont nécessairement imaginaires conjuguées, puisque leur somme et leur produit sont réels (Voir n° 162). D'ailleurs, réciproquement, si les deux racines de l'équation

x* + px -j- q = 0

sont imaginaires conjuguées» les deux coefficients p et q sont réels, puisque

l p = — (tf + *"), { q = x'x".

166. Condition pour que denx équation» du second degi*é nient une racine commune.

Soient

(1) ax* + bx + c = 0,

deux équations du second degré, à une inconnue.

Lorsque ces deux équations admettent une solution commune a, le système des deux équations du premier degré à deux inconnues

( ay + bx 4- c = 0, W l af y + b'x + C = 0,

admet un système de solutions de la forme

où la valeur de y est le carré de la valeur de x.

D'après les résultats connus de la discussion de deux équations du premier degré à deux inconnues (Voir n* 76), si ah' — ba' est différent de

494 ALGEBKE ÉLÉMENTAIRE.

zéro, les deux équations (3) admettent un système de solutions et un seul :

__ caf — ac' \X ~ âb' - ba''

j __ bc' — cb'

' ^ ~~ ah' — ht?'

ab' — biï

Pour que les deux équalions (I) et (2) aient une racine commune, il faut donc que Ton ait :

bc' — cb' __ (ta1 — ac'\* ab' — ba' ~~ \ab' — baf) '

ce qui s'écrit :

(4) [a& — ta')1 — («6' — ha!) {bc' — cb') = 0.

Désignons par R le premier membre de cette condition :

r ^ {aCr ca')* (ao/ — har) [bc' — cb'},

R est ce qu'on appelle le résultant des deux équations du second degré ( f ; et (2).

Si a^ — ba' est nul, mais si Tune des deux quantités a ou a!, a par exemple, est différente de zéro, il faudra, d'abord, que le système (3) soif compatible, ce qui exige

ac' — ca! = 0.

Dans ce cas, R est encore nul et les deux équations (I) et (2) ont non seulement une, mais les deux racines communes. Car, comne on sait, toute solution de la première équation du système (3) vérifie la seconde. « et fi désignant les deux racines de l'équation (1), les deux solutions

de la première équation (3) vérifient la seconde, ce qui exprime que l'équation (2) admet les deux solutions de l'équation (i).

Si, ab' — ba' étant nul, les deux quantités a et a' sont toutes deux nulles, on peut dire que les deux équations (1) et (2) (Voir n° 88) ont chacune un<» racine infiniment grande et, par suite, qu'elles ont encore une racine commune (infinie). D'ailleurs, comme, dans ce cas, on a encore R r 0, on peut dire, finalement, que la condition (4)

Il = 0

est nécessaire.

Cette condition est aussi suffisante, car si elle est remplie : 1° Si ab' — ba' ^k 0, elle peut se mettre sous la forme

bc' — cb' __ (ca! — ac'X* ab' — 6a' ~~ \ab' — bu')

qui exprime que le système (3) admet une solution où la valeur de y est le

carré de la valeur de x. Les équations (1) et (2) ont donc une solution commune qui est la valeur de x. 2° Si ab' — 6a' = 0 mais a ^ 0, la condition (4) devient

ac' — ca' = 0.

Les deux équations (3) ont toutes leurs solutions communes et les deux solutions de l'équation (1) vérifient l'équation (2).

3° Si a = a' = 0, les deux équations (i) et (2) ont une racine commune infiniment grande.

En résumé, la condition nécessaire et suffisante pour que les deux équations (t) et (2) aient au moins une racine commune est

Cette condition étant remplie, les deux équations auront, une seule racine commune :

ca' — ac'

ab' — 6a''

si abf — ba' ^ 0.

Dans le cas où a = a' = 0, la racine commune esl infiniment grande. S'il arrive, enfin, qu'on ait :

ab' — ba' = 0 i , n ac' — ca' = 0 s ^ '

c'est-à-dire :

î' ^ — CL a — b - c'

les deux équations (i) et (2) ont les deux solutions communes.

Remarque I. — Trouver la condition pour que deux équations à une inconnue aient une racine commune, c'est ce qu'on appelle éliminer celte inconnue entre ces deux équations.

Ainsi, le résultat de V élimination de l'inconnue x entre les équalions (i) et (2) est la condition

Remarque II. — Lorsque les deux équations du second degré (I) et (2) ont une seule racine commune finie, celte racine est, comme nous venons de le voir,

ca' — ac'

ab' — ba' '

Cette racine est donc une fonction rationnelle des coefficients des deux équations. On peut eu conclure les propositions suivantes :

Lorsque deux équations du second degré, à coefficients réels, ont une seule racine commune, cette racine commune est réelle.

Lorsque deux équalions du second degré, à coefficients réels et rationnels, ont une seule racine commune, cette racine commune est réelle et rationnelle.

167. L'élimination de l'inconnue x entre les deux équations du second degré (i) et (2) peut encore se faire par une aulre méthode dite « des fonctions sytnétriqaes ». Nous exposerons encore celle méthode, parce qu'elle est susceptible d'une extension à deux équations de degrés quelconques.

Désignons par f (x) et ç (x) les premiers membres des équations (1) et (2),

/ [x) hh ax* -4- bx + c, 9 (x) s== a'x* -f b'x -f C,

et supposons, d'abord, a différent de zéro. L'équation (1) a, dans ce cas, deux racines finies a et p (réelles ou imaginaires, distinctes ou non). Il est clair que si Tune de ces deux racines vérifie l'équation (2), on a

puisque Tune des deux quantités ? («) ou ç (P) sera nulle. Développons Je premier membre de cette égalité :

a2? («) <?(P) = a2 [a'a* + 6'* + c'] [a'p2 + b'fi -f c7] 3 a3 [a'2a2P2 + a'6'aP (* + p) + a'c' (a2 + 0») + 6'2ap + b'& (a + p) + c'*].

Or, a et P étant les racines de l'équation (1), on a

tP a2 *

En portant ces valeurs dans l'identité précédente, on trouve :

a2<p(a) «$) b a'*c* + aV2 — 2acaV + a'c'b* — a'c66' + ac6'2 — ac'66'.

Ce qui s'écrit

,ay<x) ?(P) b (aC — ca'f — (a6' — 6a') (b& — cJK)

ou

Donc, a étant différent de zéro, si les deux équations ont une racine commune, on a

On verrait de même, que, si a! est différent de zéro et si on désigne par a' et P' les deux racines de l'équation (2), on a l'identité

et, par suite, que si Tune des racines de l'équation (2) vérifie l'équation (!) R est nul.

Comme on a

f[x) = a[x — w)[x -P), ' on peut encore écrire

R = aV V - ») (*' - p) (P' - «) (P' - p),

lorsque a et a' sont différents de zéro.

Si a et a; sont nuls à la fois, les deux équation» (1) et (2) ont une racine commune infiniment grande et, comme il est aisé de le vérifier, R est encore nul.

Donc, en résumé, chaque fois que les deux équations ont une racine

commune (finie ou infinie) on a

Cette condition est donc nécessaire.

Elle est, d'ailleurs, suffisante. Ko effet, si Tune des deux quantités a ou a' est différente de zéro, a par exemple, l'équation (1) a deux racines finies a et p et on a l'identité

a étant différent de zéro, R ne peut être nul que si

?(*) = 0 ou ?(p) = 0,

ce qui exprime que Tune des racines de l'équation (1) vérifie l'équation (2).

Si, R étant nul, a et a' sont nuls à la fois, les deux équations ont une racine commune infiniment grande.

La condition est donc suffisante.

Remarque. — Lorsque le résultant R n'est pas nul, son signe peut donner des renseignements utiles sur la grandeur relative des racines, dans les équations à coefficients réels. On peut, en effet, démontrer la proposition suivante :

Théorème. — Lorsque le résultant de deux équations du second degré , à coefficients réels, est négatif, ces deux équations ont, toutes deux, leurs deux racines réelles et distinctes et les deux racines de l'une d'elles comprennent entre elles une racine et une seule de Vautre.

D'abord, si le résultant R des deux équations

(i) ax* + bx + c = 0,

est différent de zéro, Tune au moins des deux quantités a ou a' est différente de zéro. Supposons, par exemple, a différent de zéro. L'équation (1) a, alors, deux racines finies a et p et on a l'identité

R étant négatif, le produit ?(%) ?(p) est négatif. Les deux racines a et P sont nécessairement réelles, car, si elles étaient imaginaires, elles seraient imaginaires conjuguées. Les deux nombres cp(«) et ?(P) seraient également

Algèbre klbuexta ire. 3*2

imaginaires conjugués et leur produit serait égal au carré de leur module commun, par suite, positif. De plus a et p sont distincts, car, si on avait * = P, on aurait

a et p étant deux nombres réels et distincts et les résultats de substitution ?(«} et <f(P) étant de signes contraires, on peut affirmer que les deux racines à' ei P' de l'équation (2)

sont également réelles et distinctes et que Tune d'elles est comprise entre a et p (voir n° 95, Rem.). On a, donc,

soit *' < « < P' < P,

soit a < a' < p < p'.

On pourra, d'ailleurs, distinguer ces deux cas en comparant les demisommes — r- et — — des racines des deux équations.