Lorsque Tune des deux équations
• ax* -f bx -f c = 0,
a'x* + Ux + c' = 0
a une racine double, la condition nécessaire et suffisante pour que ces deux équations aient une racine commune est :
2ac' + 2ca' — bbf = 0 (voir l'exercice 18).
246. Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour que l'équatiou
ait une racine réelte (a, bt c, a', b\ c7 sont des nombres réels) ? — Dans quel cas les deux racines sont-elles réelles?
247. Même question que dans l'exercice précédent, pour l'équation du quatrième degré
(ax* + bx + c)1 + (a'x* + b'x + c')1 = 0. .
La racine' réelle, lorsqu'elle existe, est double et on demande de terminer la résolution dans cette hypothèse.
ÉQUATION ET TRINOME BICARRÉS. 499
24S. Trouver la condition pour que l'une des racines de l'équation
ax* -f bx -f- c = 0 soit l'inverse de l'une des racines de l'équation
249. Prouver que la condition nécessaire et suffisante pour que la fraction
ax* + bx + c a'x* + b'x + & ,
se simplifie, sans être constante, est que sa deriy.ee soit carré parfait.
ÉQUATION ET TRINOME BICARRÉS
168. Équation bicarrée. — La résolution générale de l'équation bicarrée, à coefficients réels ou imaginaires, se fait de la môme façon que celle de l'équation bicarrée à coefficients réels (Voir n° 99).
Soit • aar* + 6x» + c = 0 (1)
l'équation bicarrée la plus générale. Nous poserons
« * = y et nous serons ramené à résoudre la résolvante du second degré
ay* + by + c = 0 (2).
Cette résolvante a, comme nous venons de le voir, toujours deux racines y' et y (réelles ou imaginaires, distinctes ou non). On aura toutes les racines de l'équation (1) en résolvant les deux équations
a* = y' et x* = y".
Chacune de ces deux équations a toujours deux racines égales et de signes contraires et, par suite, l'équation bicarrée a toujours quatre racines, deux à deux égales et de signes contraires.
Dans le cas particulier où l'un des deux nombres y' ou y" est nul, l'équation (1) a deux racines égales à zéro.
Dans le cas où 6* — kac = 0, l'équation (1) a deux racines doubles, car y' = y".
Dans le cas où l'équation bicarrée a ses coefficients a, 6, c réels, il est facile de voir que les racines imaginaires (s'il y en a) sont deux à deux conjuguées. Lorsque les racines y' et y" sont réelles, cela est presque évident, car si l'équation
(y7 réel) a ses racines imaginaires, ces racines sont conjuguées, car ce sont :
+ » v - y' et -iv'-y'.
Si les deux racines y7 et y'7 de la résolvante sont imaginaires, elles sont imaginaires conjuguées (Voir n° 164). Or, comme il est facile de s'en rendre compte, deux quantités imaginaires conjuguées ont des racines carrées respectivement imaginaires conjuguées ; par suite, les deux racines de l'équation
. x* = y' sont les conjuguées des racines de l'équation
L'équation bicarrée a, dans ce cas, quatre racines imaginaires, deux à deux conjuguées.
Remarque. — Puisque les deux racines de la résolvante (2) peuvent être représentées par la formule
— 6 =fc y/b* — kae
les quatre racines de l'équation bicarrée (1) pourront être représentées par la formule
6 =fc y' 6» — 4ac
(Dans cette formule, lorsque la quantité placée sous un signe y] ne
sera pas réelle et positive, ce signe indiquera l'une des quantités complexes dont le carré est égal à la quantité placée sous le radical.)
Exemples :
1* Résoudre V équation
La résolvante est :
dont les racines sont
— 1 =t= tyT V ^
11 reste à résoudre les équations
- 1 + t\/3 - i - ty/3 x* = , x* = -
ÉQUATION ET TRINOMK BICARRÉS. 501
dont les racines sont :
[iii#] „ * [-M],
Si on désigne, comme nous l'avons déjà fait (n° 164, Ex. 3°), par,; Tune des racines cubiques imaginaires de l'unité, ces quatre racines sont
jf y2i — h — y*.
2* Résoudre ï équation
La résolvante
y* 4- 1 = 0 a pour racines
— i et + *• Les quatre racines de l'équation proposée sont donc :
+ l'+ t + 1— t -- 1 + i — I — *i ^2 ' Jï >[% \'2
Leur somme est nulle. — Ce sont, au fond, les quatre racines quatrièmes de j- 1).
Equation* qui «e ramènent an second degrré. — Il est claie que, de même que nous avons repris les résolutions des équations du second degré et des équations bicarrées, on pourrait, d'une façon plus générale, reprendre les résolutions des équations et des systèmes d'équations dont les résolutions se ramènent au second degré et les traiter à notre nouveau point de vue.
Nous nous contenterons de donner quelques exemples.
Exemple I. — Soit à résoudre V équation réciproque
a?4 + xz + ®* + # + 1 = 0 (Voir nft 101 , Exemple). La résolvante, en posant
est
dont les racines sont
- t H- *fe et — i — y^^
SOÎ ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.
Les racines de l'équation proposée sont, alors, les racines des deux équations
Ces deux équations admettent, chacune, deux racines imaginaires. Les quatre racines de l'équation proposée sont donc :
— 4 4 y/ï ±i V*0 + 2\/5 . — 1 — S rfc i^iO — 2\Z£ 4 et 4 "
Exemple II. — Soit à résoudre le système :
Les équations étant symétriques en x et y9 posons
x + y = m, ary = v.
Le système devient :
{ ti (5v« — 5«*u + u4) = 275, f u = 5.
En portant la valeur de u dans la première, on a, pour déterminer v, l'équation
vî 2qv + U4 = 0,
qui a deux racines :
x et y sont donc les deux racines de l'équation
ou de l'équation
a* — foc + 49 ss 0.
La première a pour racines 2 et 3 ; la seconde a pour racines
5 sfc Jy/JËI 2 "
Le système a donc quatre solutions qui sont :
5 + tViT 5 — *t/Sï
5 — i y/M 5 + i t/iîï
ÉQUATION ET TRINOME BICARRÉS 503
169. Trlnâme bicarré. — Désignons par vV Tune des racines carrées de la racine yr de la résolvante de l'équation bicarrée
(1) ax* + 6x* + c = 0;
et par vV' l'une des racines carrées de la seconde racine y" de cette résolvante. Les quatre racines de l'équation bicarrée seront, alors,
+ VF, - VF + sfy", - VF et on aura, évidemment, l'identité (Voir n° 100) :
ax> + bx* + c ^ a(x — vV) (x + vÇ) (a — Vy") (* + Vv")
qui peut s'écrire, en désignant par xly a?2, jp3, #4 les quatre racines de l'équation (1),
ax* + 6a;2 -f- c = a (a? — tfj) (x — ar2) (* — #3) (* — #*)•
En d'autres termes*:
Tout trinôme bicarré peut être décomposé en un produit de quatre facteurs binômes du premier degré.
En écrivant que, dans les deux membres de l'identité précédente, les coefficients des mêmes puissances de x sont égaux, on obtient quatre relations entré les coefficients et les racines de l'équation (1). Ces relations sont :
*i + *i + «3 + *♦ = of
V dP,a?2 + xtxz + x&i + x&z + a?^ + x^ = -».
à XiXfXç -f- X^X^X^ -f- X^X^X^ -f- X 3X3X1 ^ 0,
170. Décoinpoaltlon du trinôme bicarré en deux facteur» du Mcond degré. — Supposons que, dans l'identité
ax* + bx* + c =3 a(x — a?j) (x — x2) (x — x3) (x — x*),
on effectue, d'une part, le produit (x — xt) (x — a?J et, d'autre part, le
produit (a? — xz) (x — a4), l'identité prendra la forme nouvelle
<wc* + 6x* + c = a {x* + px + q) [x* + p'x + q')
en posant :
(x — xt) (x — a?2) = x1 + P& + 9»
(x — «,) (a? — ar4) = x1 + P'# + 0'-
Ceci nous montre que tout trinôme bicarré peut être décomposé en un produit de deux facteurs du second degré. On Voit, d'ailleurs, aprwri, que cette décomposition est possible de trots manières, car on peut associer de
trois manières différentes les quatre binôme* du premier degré en deux couples de deux facteurs. Ces couples sont :
[x — a?,) (x — a?2), (or — xt) (x — a?t) ;
(x — xt) (x — a?,), {x — #,)(« — x>) ;
.(*-*-*,){* — a?4), (a? — xt) {x — a?3).
Nous pouvons, alors, nous proposer de calculer tous les systèmes de valeurs de p, q, p', q' tels qu'on ait l'identité
(1) «** + b& + c .a a (*« -f par + g) (a;8 + p'x + q')y
c'est-à-dire de chercher toutes les décompositions du trinôme, en deux facteurs du second degré. En identifiant les deux membres de l'identité (I) terme à terme, on parvient au système d'égalités suivant :
\<i + q' + pp' = -,
i pq> + qp> = 0,
Le problème revient donc à résoudre, de la façon la plus générale, ce système de quatre équations à quatre inconnues p, p', q, q'. La première équation donne
P' = — P et, en portant dans la troisième, celle-ci devient :
Ceci nous conduit, naturellement, à distinguer deux cas.
1° p = 0; par suite, p' = 0 et il reste, pour déterminer q et q'y le système
\ « + r' = «' / tf = -C,
qui prouve que q et q' sont les racines de l'équation
az* — 6s + c = 0.
Or, cette équation est la transformée en — z de la résolvante
ayi + 6y + c = 0
de l'équation obtenue en égalant à zéro le trinôme. Si donc y' et y" sont les racines de la résolvante, on devra prendre pour q Tune des deux valeurs — yf ou y" et pour qr l'autre. D'ailleurs, il sera indifférent de prendre
ÉQUATION ET TRINOME BICARRÉS. 505
pour q l'une ou 1'aulre valeur, on obtiendra toujours la même solution. Prenons, par exemple,
9 = — y', ?' = — y", et on a la première décomposition
ax* + bx* + c s a(a?* — y') (a?8 — y*') (3).
Cette décomposition, d'ailleurs, résulte immédiatement de la décomposition du premier membre de la résolvante en deux facteurs binômes. 2* Supposons
q' - q = 0, le système (2) devient alors,
La dernière relation donne, de suite, pour qr et q deux valeurs,
(v/|dési
* - « = ± Vj
désignant l'un des deux nombres complexes dont le carré esl égal
La troisième équation donne, alors,
A chaque valeur de q correspond ainsi pour p deux valeurs égales et de signes contraires. Il semble donc, au premier abord, qu'il y ait quatre solutions. Il n'en est rien, car, si on prend pour p une des racines carrées de
•* rê - f
p' sera égale à l'autre. Si on changeait, ensuite, la détermination de p, cela reviendrait à permuter p et p'. Or, comme
q = <r\ la permutation de p et de p' ne changera pas l'identité (i). Donc, quelle
506 ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE»
que soit la racine choisie pour p, la décomposition obtenue sera toujours Ja même. Désignons, par
l'un des deux nombres complexes dont le carré est égal à
Va a On pourra prendre
et
On a donc deux nouvelles décompositions, et deux seulement, (4) cur* + bx* + c =
et :
(5) ax* + fcr* + c =
«["♦V'-'V'l-:-— Vs][" -V'-'V^-ï-'-Vï]-
11 y a donc, en tout, trois décompositions ["(3), (4) et (5)1, et trois
seulement.
Remarque I. — 11 est facile, en suivant la marche que nous avons indiquée au n* 100, de retrouver les deux dernières décompositions de la façon suivante : Mettons a en facteur dans le trinôme :
ax* + bx* + c ^ ope* + £ a?* + -\
On remarque que x* et - peuvent être considérés comme les deux termes carrés du développement du carré de
a?* + V- ou de x* — V-.
'Va va
ÉQUATION ET TRINOME BICARRÉS. 507
On peut, donc, écrire :
a* + 6* + cS «[(** * Vh)'- (* »Vi -ï)*"]-
La quantité entre crochets peut, maintenant, être considérée comme la différence des carrés de deux quantités
Vi - V-m/H
et, en remplaçant cette parenthèse par le produit d'une somme et d'une différence, on a :
axl + bx* + c =s
•[**v^+V*«>Aï-î][**\/ï-V*«v^-!]-'
Remarque II. — Lorsque le trinôme bicarré a ses coefficients réels, il y a toujours au moins une décomposition à coefficients réels.
Cette proposition résulterait immédiatement du fait que, lorsque le trinôme a des racines imaginaires, ces racines sont conjuguées deux à deux. Il sufût donc d'associer les facteurs binômes conjugués pour obtenir une décomposition réelle.
Il est facile, d'ailleurs, de vérifier directement qu'il y a toujours une des trois décompositions (3), (4) ou (5) à coefficients réels, comme nous l'avons montré au n° 100 (page 271).
Cette proposition très importante permet de ramener la résolution de toute équation bicarrée à coefficients réels à celle de deux équations du second degré également à coefficients réels. Car, à cause de l'identité (4), résoudre l'équation
<w?* + bx* + c = 0,
revient à résoudre les deux équations
x% + px + q = 0, x* + p'x -\- q' = 0.
Exemple. — Considérons l'équation
#4 + **+• = 0 (Voir n- 100, page 272).
Le premier membre s'écrit
Pour résoudre l'équation proposée, il suffit donc de résoudre les deux équations
508 ALGÈBKE ÉLÉMENTAIRE.
Les autres décompositions du trinôme sont à coefficients Imaginaires; ce sont :
* + „ + ,4,^!iiJ§)(„^FWi),
#* + ** + 1 = (a» + îjî — i) {x* — ix — i).
Remarque III. — La condition nécessaire et suffisante pour que tes trois décompositions d'un trinôme bicarré, à coefficients réels, en facteurs du second degré, soient . également à coefficients réels, est que les quatre racines du trinôme soient réelles.
Les trois décompositions sont, en effet:
«[- -vrï+V-«vÇ-ï]["-Vî-V-V!-ï]-
Pour que ces trois décompositions aient leurs coefficients réels, il faut d'abord que les racines y' et y" de la résolvante soient réelles, ce qui donne :
6» — kac > 0.
Puis, que les trois quantités
î, tJi-i, -tJi-b-
soient positives. Or, le produit des deux dernières est :
M , c __ b* — 4ac
Ce produit est donc positif. Pour que les deux dernières quantités soient
positives, il faut, alors, et il suffit que leur somme — 2 - soit positive
(puisqu'elles sont de même signe).
Les conditions sont donc, finalement,
6* - lac > 0, - > 0, — - > 0,
qui sont précisément les conditions qui expriment que les quatre racines de l'équation
cïx4 + 6a* -f- c = 0
sont réelles.
■Wh
TRANSFORMATION DE v'a + VB. 509
