Considérons l'équation bicarrée
En résolvant cette équation comme d'ordinaire, on trouve qu'elle a quatre racines réelles données par la formule
= =fc V^4 ± jl
D'autre part, pour résoudre l'équation proposée, on peut décomposer le premier membre en deux facteurs du second degré par une décomposition de la forme (4) ou (5} du numéro précédent.
On a, alors :
a:* — Sx* + 9 == (x + 3)* — 14a?»
d'où :
S* — Sx* + 9 s (x* — x VÏ4 + 3) {x* + x VÎ4 + 3);
on a donc également les quatre racines de l'équation proposée en résolvant les deux équations du second degré
x* — x y/iï + 3 = 0, x* + x VÏÏ + 3 =r 0.
Or, en résolvanl ces deux équations, on trouve, pour les racines, la nouvelle expression
En rapprochant les expressions (1) et (2) on arrive à l'égalité intéressante :
Getle remarque nous conduit naturellement à chercher si toute expression de la forme
peut se mettre sous la forme d'une somme de deux radicaux simples. 172. Étant donnée l'expression
Va + \/b
où À et B désignent des nombres arithmétiques rationnels, B n'étant pas carré parfait, cherchons à déterminer deux nombres arithmétiques, x et y, également rationnels tels que Ton ait l'égalité
V/à + 7b = yfx + yfy (3).
Élevons les deux membres au carré, on devra avoir :
À + v/B=a? + y + ïjœy (4)
ou
2^/xy = A — x — y + vfe.
Élevons encore les deux membres au carré, et nous aurons :
kxy = (A — x — y)* + B + 2 (A — x — y) )/B.
Cette dernière égalité nous prouve qu'il faut que Ton ait
Car, si A — x — y était différent de zéro, on tirerait de cette égalité
/5 4ay-B-(A-*-y)* ^8 = 2 (A x y) •
égalité qui est impossible; car, B n'étant pas carré parfait, le premier membre est un nombre irrationnel et, A, B, & et y étant, par hypothèse, rationnels, le second membre est rationnel.
TRANSFORMATION DE \^A + yÇ. 511
Oo doit donc, d'abord, avoir
L'égalité (4) devient alors,
J B = 2 yfxy
qui donne
B = 4 xy, B
Les deux nombres «et y, s'ils existent, sont donc les racines de l'équation du second degré :
Pour que le problème ait une solution, il faut que cette équation ail deux solutions réelles, positives et rationnelles. Pour que les solutions soient réelles, il faut que Ton ait
Elles seront, alors, positives (car leur somme A et leur produit 7 sont positifs) et données par la formule
A db y'A* — B
Pour que ces solutions soient, enfin, rationnelles, il faut que
soit carré parfait.
Ces conditions nécessaires sont suffisantes, car, si A1 — B est égal à un carré parfait C*, l'équation (5) a deux racines positives et rationnelles :
A + C # A — C —2~ et —2—
En prenant pour x Tune de ces valeurs et pour y l'autre, l'équation (4) sera vérifiée. Or, comme l'égalité (4) provient de l'égalité (3) élevée au carré, x et y vérifieront soit l'égalité (3), soit l'égalité
- VA+\te = y/x + yÇ
qui est, manifestement, impossible.
x et y- vérifient donc l'égalité (3), et à cause de la symétrie, on pourra prendre pour x une valeur quelconque et pour y l'autre.
Par exemple, on prendra :
et on aura
Va + v'b = ^Lp + \/:
Exemple. — Soit à transformer :
\lk + 2 V3 - V^4 + \/Ï2.
On a ici
La transformation est donc possible fit on a :
C = 2, ce qui donne :
V4 + 2\6 = vtë + 1.
