La transformation de

en Va? — y/y

se fait absolument de la même façon que la précédente. On traitera l'égalité

Va - y/n = v£ - y/y

de la même façon que l'égalité (3) et on arrivera, de môme, à voir que x et y doivent être les racines de l'équation (5) :

** — kx +5 = o.

Pour que la transformation soit possible, il faudra encore que A3 — B soit égal à un carré parfait G1.

Mais, ici, on ne devra pas prendre pour x Tune quelconque de deux racines, car, pour que l'égalité

slk — VB = \!x — V

soit vérifiée, il faudra que ^ soit plus grand que y. On prendra donc pourx la plus grande racine :

TRANSFORMATION DE \/A + \/ÏÏ. 513

et on aura :

174. Comme application, nous rechercherons dans quels cas la transformation précédente est applicable aux racines de l'équation bicarrée

axK + bx* + c = 0,

où a, 6, c désignent des nombres entiers. Les racines de cette équation sont données par la formule

b dz % 62 — 4ac

4nc

0U y Sa - V 4«*

c b (nous supposons, évidemment, ces racines réelles, par suite - > 0, > 0

et 6* — 4<ic > 0).

On a, ici,

a — 6 n — b* ~~ 4rtC

Pour que la transformation soit possible, il faut donc et il suffit que le

produit -des racines de la résolvante soit carré parfait. C'est ce qui avait

lieu, par exemple, dans l'équation que nous avons considérée au début (n° 471).

Chaque fois, d'ailleurs, que la transformation est possible, on obtiendra

directement les racines sous la forme ± y]x ± y/y en décomposant le trinôme bicarré en deux facteurs du second degré de la forme (4) ou (o) du n° 170.

EXERCICES