Continuité de» fonction* circulaires
Les fonctions circulaires sont les fonctions :
séc x, coséc x, cotg x.
sin x, cos x, tg x,
qui sont les lignes trigonométriques de Tare x.
Pour montrer que ces fonctions sont des fonctions continues de la variable x, nous remarquerons d'abord que :
Le sinus d'un arc tend vers zéro en même temps que cet arc. 9
Soit, en effet, 0 (fig. 53) le cercle trigonométrique de rayon 1. A, l'origine des arcs; ox Taxe des cosinus dont le sens positif est de 0 vers A, et oy Taxe des sinus perpendiculaire à ox. Le sinus d'un arc AM est, par définition,
le segment ÔP, P étant la projection orthogonale de M sur oy. ''' Gela étant,' soit c un nombre positif donné à l'avance. Portons, sur oy, de
Fia. 53.
(1) Dans tout ce qui va suivre, nous supposerons le lecteur familiarisé avec les formules ordinaires de la trigonométrie élémentaire.
part et d'autre de 0, deux longueurs OK, OK' égales à e. Menons par K et K' des parallèles à ox qui coupent Je demi-cercle BAB' en H et H'. Soit a la valeur commune des arcs égaux AH et AH'. Il est clair que si l'arc AM est, en valeur absolue, plus petit que «, son extrémité M tombera entre H et H' ; par suite, la projection P de M sur oy tombera entre K et K' et le
segment ÔP sera, en valeur absolue, "plus petit que e. En d'autres termes, ceci nous prouve que : si
X | <. a, on a
sin x | < e
Sin x tend donc vers zéro en même temps que x.
i° Continuité de sin x. — Donnons à la variable x un accroissement A, il en résultera, pour sin j?, l'accroissement
k = sin(,r -f h) — sin.r;
ce qui s'écrit, en transformant cette différence en produit :
h = 2sin^J cos/* + ^j.
Quand h tend vers zéro, sin (- J tend vers zéro et cos (a? + -1 reste fini
(compris entre — l.et + 0» donc ^eur produit k tend vers zéro.
2° Continuité de cos x. — Soit h l'accroissement donné à x, l'accroissement correspondant de cos x sera :
ce qui s'écrit:
k = cos (x + h) — cos x;
Quand h tend vers zéro, sinl - jtend vers zéro et sinfa? + - 1 reste fini,
donc k tend vers zéro.
3° Les fonctions cos x et sin x étant Continues, on en conclut, immédiatement, que les autres fonctions circulaires sont continues pour toutes les valeurs de x, pour lesquelles elles ont une valeur finie. On a, en effet,
sin x tga? =
cotgx =
sec a? = -
cos x cos a; sin x \
cosec x ==
cos .7;' { sin a?
COMPLÉMENT A L'ÉTUDE DE LA VARIATION DKS FONCTIOxNS. 519
En appliquant le théorème sur le quotient de deux fonctions continues (•n* H4, Th. ///), on conclut, immédiatement, que les quatre fonctions tg.r, colg./\ sec a?, eosécac sont continues pour toutes les valeurs de a? qui n'annulent pas leurs dénominateurs.
Lemme. — Le rapport du sinus d'un arc à cet arc tend vers Vunitë quand t'arc tend vers zéro (').
Supposons d'abord l'arc ,v positif. Nous pouvons, évidemment, le
supposer aussi plus petit que -J,
puisque nous allons le faire tendre vers zéro. Soit 0 Le cercle trigonométrique, A M l'arc x (fiy. 34), MP la perpendiculaire abaissée de M sur OA et T le point d'intersection du rayon OM avec la tangente en A au cercle.
On a :
MP = sina», AT = Ig.r,
puisque le sinus et la tangente sont positifs.
Si Ton compare entre elles les aires des triangles OAM, OAT et du secteur circulaire OAM, on a:
Fie. :»;.
aire OAM < aire sert. OAM < aire OAT. Ceci donne, en remplaçant les aires par leurs mesures,
l OA X MP < i OA X arc AM < ^ OA X AT
OU
ou, enfin,
MP < arc AM < AT,
sin.r
SIII.K COS. F
sinar étant positif, nous pouvons diviser les trois membres de cette double inégalité par sina? et il vient :
sm.r cosa?
Or, quand x tend vers zéro, cos.r tend vers 1, puisque cos.r est une fonction continue et que
cosO = i.
(1) On suppose, dans l'énoncé do cette proposition, que l'unité d'arc est, commo d'ordinnirc en trigonométrie, l'arc qui a pour longueur l'unité d« longueur, c'cst-à-diro l'arc qui a môme longueur que lo rayon du cercle (qui est pris pour unité).
sinx
reste donc compris entre 1 et une quantité qui a pour limile i.
- — a donc aussi pour limite i, quand x tend vers zéro par valeurs sin x
positives.
La proposition est encore vraie quand x est négatif. Posons, dans ce cas,
x' sera positif et on aura :
sin aï — sin.r' sin a:'
Quand x tend vers zéro par valeurs négatives, x' tend vers zéro par valeurs
siu x sin x
positives, — f— a pour limite 1, il en est donc de même de .
