I. — La dérivée de sin a: est cosa

Donnons à x l'accroissement /i, sin a: prendra l'accroissement :

h = sin(a? + h) — sin» = 2 siof — J cosfa; + -).

On a donc :

sin

Lorsque h tend vers zéro, le quotient

a pour limite i (d'après le Lemme); cosf x -f- «) a Pour limite cosx, puisque x + - a pour limite x et que cosa? est une fonction continue. Le quotient t a donc une limite qui est

HmfTJ = i X cosa? = cosa?.

La fonction sin x admet donc une dérivée pour toute valeur de xf et cette dérivée est cos x.

IL — La dérivée de cosa? est — sina?.

Soit h un accroissement donné à a?, l'accroissement correspondant de cosa? est :

k = cosfa? + h) — cosa? = — 2 sinf- j sinfa? + ôV

On a donc :

* Sin(t) • / ^ A\

Quand h tend vers zéro, le quotient

tend vers 1 ; et sinf a? + k ) ten(^ vers s^n #> puisque le sinus est une fonction

k continue, y a donc une limite qui est

i X sina? = — siua?.

La fonction cosa; a donc une dérivée, pour toute valeur de a?, qui est — sina?.