III. — La dérivée de iex est
^ cos'a?
L'accroissement de tga?, correspondant à un accroissement h de x, est ;
k = *(* + ^ - tg« = cos(x + hk) cosa-
On a donc, pour toute valeur de x qui n'annule pas cosa?,
k __ sin/t 1
 /i cos(a? + /*) cosa?"
. Lorsque h tend vers zéro, le rapport
s'mh
tend vers 1. D'ailleurs, cosa? étant une fonction continue, cos(a? + h) a pour limite cosa? et le dénominateur, cos(a? + h) cosa?, a une limite cos'a?, différente de zéro, pour toute valeur de a? qui n'annule pas cosa?. Par suite,
532 ALGEBRE ELEMENTAIRE.
en verlu des théorèmes sur les limites, - a une limite, lorsque x tend vers
zéro, qui est:
lim(f) = l X t\ \ h / cos
cos- a? cos-.r*
La fonction tg.r a donc une dérivée pour toute valeur de x qui ne la
rend pas infinie, et cette dérivée est — -=— .
r cos2.r
Cette dérivée s'écrit encore :
cos2 X
Remarque. — Connaissant les dérivées de sinz et de cos a?, on pourrait avoir la dérivée de tg.r en appliquant la règle de la dérivée d'un quotient. On a :
sin x n cos a?
Par suite,
w (sin x)f cos x — (cosx)'sin.r
(tg.r) = s r-i ;
v b ' cossa?
cos2 a* 4- sin2 a? 1
x ° ' cos2.ir cos1.*'
On calculera de la inÊme façon les dérivées des trois autres lignes trigonométriques.
1° cote a? = - — ;
r sm.r
d'où
. 4 ., — sin* a? — cos* a?
(cotg.r)' =
2° séca* —
cos a?
sin2 a? sin2.r
d'on
, , ., sin.r (secr/ =
cos* .r *
3n cosécr = — — :
sin.r
d'où
. . ,, cos a?
(cosecc)' = — -.- ,— .
N ' sin2 a?
178. Dérivée d'une fonction de fonction. — Soit u une fonction d'une variable x elf(u) une fonction de u. f(u) peut être considérée comme une fonction de la variable x et, à ce titre, est dite fonction de fonction»
COMPLÉMENT A L'ÉTUDE DE LA VARIATION DES FONCTIONS. 5*3 Ainsi, par exemple, l'expression
V7*2 + 4 peut être considérée comme une fonction de l'onction, car, si on pose
il = .t* + i,
on aura
De même,
sin\yjx)
est une fonction de la fonction \J x.
Théorème. — Si la fonction u, de la variable x, admet une dérivée uf et si la fonction /(u), de la variable u, admet une dérivée f (u), la fonction de fonction f (u), fonction de x, admet une dérivée qui eut le produit
Désignons par y la fonction de fonction f (n), de la variable x. Donnons à x un accroissement Aa?, i) en résultera pour la fonction u un accroissement correspondant Su et pour la fonction y un accroissement Ay. On aura évidemment,
ty ~ f (m + ai/) — f (n)
puisque, pour x -\- Ax, u prend la valeur u + Au. Par suite, on a :
A£ fju 4- A») — f(u)
ce qui s'écrit :
-f- AU) —
Ali
Ail
Sx
Quand Sx tend vers zéro, le quotient — a, par hypothèse, une limite m'.
SX
D'ailleurs, Au tend vers zéro, car la fonction u, admettant une dérivée, est nécessairement continue; par suite, le quotient
AU
tend vers une limite f'(u), d'après l'hypothèse.
Il résulte, de là, que le quotient — a une limite qui est le produit des
aX
limites de ses deux facteurs, et que y, fonction de a?, admet une dérivée qui est :
Exemple I. — u peut être considérée comme une fonction de fonction.
Or, la dérivée de um, où on considère u comme une variable indépendante, est
mu on a donc
[U ) = mu M .
Nous retrouvons la règle énoncée au n° 117. (Th. III, Cor. U.) Exemple II. — La dérivée de sin u est
cosu. u'.
Ainsi prenons m = yx, nous aurons
2 va?
et, par suite,
(sin(v/x)j = cos(v/x).
Prenons u = x -j- a, nous aurons m' = 1. Donc
(sin [x +a)); = cos (x + a) ;
de même,
(cos (# + fl)/ = — sin (x + a).
Ceci nous permet de donner les expressions des dérivées mtémt* de sin x et de cos x.
Remarquons, en effet, que
cos
x r= sin (x + ^ U — sin a? = cos (a? + =);
on aura, alors,
(sin*/ = sinkB + ïj, (cosa:)' = cosf.a: + - j.
En dérivant, encore une fois, on aura
(sinar)" = coslx -f- -J = sinftf + 2-L (cosj?)'/= — sinf j? + ^) = cosfa? + 2-J.
COMPLÉMENT A l/ÉTUDE DE LA VARIATION DES FONCTIONS. 5S5
On voit facilement la loi. Chaque dérivation augmente Tare de ^. m dérivations successives augmenteront Tare de m fois-. On a, par conséquent :
Exemple III. — Soit
on aura
D™m (sin*) = sinfar' + m*^), D™m (cos a,-) = cosf x + m ^j.
. / ax 4- à \
, fax 4- 6\ aV — fta' y - co\a'x + 6'/ (a'x + b')*
De même, soit
y = y'I — sin*#;
on a :
yf = (1 __ giu8 j.) #
2vl — sins# Or
(i — sin*a?) = — 2 sin £ (sin x) = — 2 sin #. cos ar,
donc
sin a? cos x
V* — sin* ar
179. Variation des fonctions circulaires. — La connaissance des dérivées des fonctions circulaires pourra nous permettre d'étudier, facilement, la variation de ces fonctions et de celles qui sont des combinaisons simples des fonctions circulaires. Voici quelques exemples d'études de ce genre.
Exemple I. — Variation de sin x.
Pour étudier la variation de sin ar, nous remarquerons, d'abord, que, puisqu'on a
sin (2w + x) = sin ,r,
lorsque x varie de 2ir à 4*, la fonction varie de la même façon que lorsque x varie de 0 à 2«. De môme, x variant de 4w à 6ir, de 6ir à 8*, etc..., ou encore, x variant de — 2* à 0, de — 4w à — 2w, etc., sina? varie de la même façon que lorsque a: varie de 0 à 2w.
Il nous suffira donc d'étudier la variation de la fonction dans l'intervalle (0,2*) puisque, dans les intervalles suivants et précédents, sinj? passe périodiquement par les mêmes valeurs.
La fonction sin# admet une dérivée, pour toute valeur de xt qui est cos.r.
Or, cosx s'annule pour
•w ma
dans l'intervalle de 0 à 2ir.
x croissant de 0 à -, cosx est positif, par suite, s'mx croit (de 0 à 1) ; x
croissant de - à —, cos# est négatif, et sina: décroît (de là — i) ; enfin, x
te croissant de 3 - à 2w, cosa? est positif et sin x croit (de — là 0;. En
remarquant que sin.r s'annule pour x = w, ou peut résumer cette discussion dans le tableau suivant :
cos .u
sin A'
croit
\ (max)
décroît
ir
décroit
— 1 (min)
croit
La courbe représentative de la variation est, alors, la suivante {fiy. 55 >. La courbe part de l'origine 0, monte jusqu'à un maximum A (tanpente
rr
horizontale) pour x = 5, y = 1. Elle descend, ensuite, du maximum A à
un minimum
C ( x = -^-, y = — 1 j en traversant Taxe des x au
point B (x =• 7T, y == 0). Enfin, la courbe remonte du minimum C au point D, situé sur l'axe des x, pour lequel ,r = 2«, y = ()•
On peut remarquer qu'il est facile de construire les tangentes à la courbe aux points A, B et D. On a, en effet, pour
x = 0, y' =• cosO = \ ; x = *, y' = cos- — — i ; x = 2ît, y' = cos2* = 1.
^ Les coefficients angulaires des tangentes en A et I) sont donc égaux à I. Les tangentes en A et D sont donc parallèles à la droite
qui est la bissectrice de l'angle xoy.
Le coefficient angulaire de la tangente en B est — I. La tangente en B est parallèle à la droite
qui est la bissectrice de l'angle x'oy.
Connaissant la courbe OABGD qui représente la variation du sinus, quand x varie de 0 à 2*, on a, facilement, la courbe complète représentant
Fio. 55.
la variation du sinus lorsque x varie de — oo à + oo. En effet, lorsque x varie de 2w à 4w, la variation du sinus étant la même que de 0 à 2«, la courbe représentative DEF est identique à la courbe OABGD. On obtient, alors, la courbe complète en traçant une suite indéfinie d'arcs de courbe DEF, FGH, etc.. OIK, etc., identiques à l'arc OBD et se prolongeant indéfiniment dans les deux sens. La courbe complète esl, comme on le voit, une courbe qui serpente autour de ox en faisant une torsade régulière se prolongeant indéfiniment dans les deux sens oa'e.to.r'. C'est par analogie avec cette courbe qu'on désigne, souvent, une courbe quelconque qui serpente autour d'une droite sous le nom de courbe sinusoïdale.
Remarque. — On pourrait étudier, de la même façon, la variation du cosinus, mais, si on remarque que
cos
x = sinU + A
on voit que cette étude est inutile. Car, lorsque x varie de 0 à 2w, cette égalité nous montre que cos a: a les mêmes variations que sinx lorsque x
varie de - à 2* + « •
La courbe représentative de la variation de cosz est identique à la courbe qui représente sina?, il n'y a de différence que dans la place de Taxe oy relativement à la courbe. On obtiendra évidemment la courbe qui représente cosx en diminuant les abeisses de tous les points de la courbe, qui
représente sin.r, de -. Ceci revient, au fond, à déplacer Taxe oy de façon
qu'il passe parle point A (fig. 55).
Exemple II. — Variation de \gx.
L'égalité bien connue
*«(* + it) = tga?
nous montre, de suite, qu'il suffit d'étudier la variation de la fonction fgx lorsque x croît de 0 à tt, car de w à. 2-, de 2* à 3^, etc.. et de — sàO, de — 2w à — w, etc... la fonction passera par les mêmes valeurs, dans Je même ordre.
Dans l'intervalle de 0 à «, la fonction Ig x est continue pour toutes les
valeurs de x sauf pour or = - , valeur pour laquelle elle devient infiniment
grande. D'ailleurs, pour toutes les valeurs de x pour lesquelles elle est
continue, la fonction admet une dérivée qui est — *-. La dérivée étant
1 cos2a?
toujours positive, la fonction est toujours croissante. Ceci nous conduit à
la discussion suivante :
x croissant de 0 à -, tga? croit de 0 à + °°- Lorsque x passe par la
valeur r, tapasse brusquement de -f oo à — oo. Enfin, x croissant
de 5 à «, tga? croît de — oo à 0.
La courbe représentative de la fonction présente une asymptote parallèle à oy :
Lorsque x croit de 0 à -, la courbe monte de l'origine 0 pour devenir
asymptote à la droite AB (x = | J (fig. 56). Puis elle repart asymptote à AB, en bas, et monte jusqu'au point C (x = rc, y = 0), lorsque x croit de - a 5T.
Les coefficients angulaires des tangentes en 0 et C sont égaux à 1, ces tangentes sont donc parallèles à la bissectrice de l'angle xoy.
En transportant la courbe OA, BC, parallèlement à elle-même, de façon que 0 vienne en C, on obtient la courbe CD, EF qui représente la variation de tga? quand x varie de -r à 2ir. On transportera ensuite 0 eu F, et ainsi de suite. En continuant de la sorte, on obtiendra la courbe tout entière représentant la variation de tga? quand x croît de 0 à + °°- Kn
transportant, de même, la courbe vers la gauche en OA/, B'C, etc., on aura la courbe qui correspond au cas où x croit de — oo à 0. La courbe totale se compose doue d'une infinité de branches D'C'B', A'OA,
Fig. 56.
BCD, EFG, etc., s'étendant à l'infini dans les deux sens ox et ox\ identiques entre elles et asymptotes à des droites parallèles à ox qui sont
3ir
rr —
en nombre infini.
Remarque.
— L'égali
té
cotg
- tg(x
nous prouve qu'on pourra déduire la variation de cotgx de celle de igx, comme on a déduit la variation de cosa? de celle de sin.r.
180. Variation de la fraction du second degrre. — Dans l'étude de la variation des fonctions (liv. IV, ch. iv), nous avons traité de nombreux exemples numériques où la fonction considérée était une fraction rationnelle dont les deux termes étaient des polynômes du premier ou du second degré. Nous nous proposerons, pour terminer ce complément, d'examiner en détail et de discuter les divers cas qui peuvent se présenter Algèbre élémentaire. 34
dans l'étude de la variation de Ja fraction la plus générale du second degré
ax2 '+ bx 4- c
suivant les diverses valeurs numériques, réelles, qu'on peut attribuer aux coefficients a, 6, c, a', 6', c'.
La fonction :
i.c2 -f- bx -f- c
est continue pour toute valeur de a?, sauf pour celles qui annulent le dénominateur (s'il en existe). Elle admet une dérivée :
, (ab' — feqQj?» + 2(ac' — ca')x + 6c' — cfr ~~ (a'a?2 + ô'x + c'f
Pour que cette dérivée puisse changer de signe, il faut que son numérateur ait des racines réelles et distinctes; il faut donc que le discriminant de ce numérateur soit positif. Or, le discriminant du numérateur est :
R s (acf — ca'f — {ab' — 6a') {bc' — c6'),
et on voit, de suite, que ce n'est autre chose que le résultant R des deux termes de la fraction (Voir n° 166).
Nous sommes ainsi amené à distinguer trois cas principaux suivant le signe de ce résultant.
La dérivée ne s'annule pour aucune valeur réelle de x. D'ailleurs, ab' — ba' est nécessairement différent de zéro, car sans cela R serait positif. Par suite, la dérivée est toujours du signe de ab1 — ba'. La fonction varie toujours dans le même sensy il n'y a ni maximum ni minimum.
Le numérateur et le dénominateur de la fraction ont leurs racines réelles et distinctes. Car, comme nous l'avons vu (n° 167, Th.), le résultant R de ces deux trinômes étant négatif, ces deux trinômes ont leurs racines réelles et distinctes et les deux racines de l'un séparent les racines de l'autre.
(A) — Si a1 *fi 0, le dénominateur a deux racines réelles et distinctes, a' et P', qui sont deux valeurs de discontinuité pour la fonction. La courbe représentative de la variation admet les deux asymptotes
parallèles à oy. De plus, comme, pour x = =fc co, on a : y = -,1a courbe admet une asymptote parallèle à ox qui a pour équation :
La forme générale de la courbe représentative est celle de la figure 57 qui est construite, en supposant «6' — baf > 0. Dans cette figure, nous n'avons pas tracé les deux axes ox et oy dont la position relative,
Fitï. £7.
par rapport à la figure, varie suivant les grandeurs numériques des
coefficients.
c' (B) — Lorsque a' = 0, le dénominateur n'a plus qu'une racine finie, — :->
qui est la seule valeur de discontinuité pour la fonction. La courbe représentative n'a plus qu'une seule asymptote parallèle à oy qui est :
D'ailleurs, a est nécessairement différent de zéro, puisque ah' — ba' n'est pas nul, et, par suite, pour x = =fc oo, y est infiniment grand. La courbe représentative présente alors une asymptote, non parallèle à un axe,
où ox + P désigne la partie entière du quotient du numérateur par le dénominateur (Voir n° 124, Exemple VII, Rem.).
ALGEBRE ELEMENTAIRE.
La courbe représentative est une hyperbole qui a la disposition de la ligure 58, lorsque ab' — ba' > 0 (,).
Fio. 58.
La dérivée a, dans ce cas, deux racines réelles et distinctes que nous désignerons par
x* el x" {x* < x").
On est, alors, conduit à subdiviser ce cas en plusieurs autres suivant que le dénominateur a ou n'a pas de racines réelles.
