I. — Soit V* — 4 a'c

Le dénominateur de la fraction a des racines réelles et distinctes

(1) Dans la suite, nous construirons toujours la courbe représentative dans l'hypothèse aV — ba' > 0, lorsque aV — ba' sera différent de zéro. Pour avoir les formes générales des courbe» représentatives correspondantes au cas de aV — ba* < 0, il suffirait de regarder les courbes que nous avons tracées par transparence à travers la feuille de papier.

a' et P'. Pour ranger les quatre nombres x, x*, %' et p', Formons le résultant des deux trinômes

et

[abf — ba')jfi + 2(ae' — ca')x + b& — cbf.

Ce résultant est :

ce qui montre que, dans notre hypothèse, R, est négatif. Les racines x' et x* comprennent donc entre elles une racine &' ou f et une seule (n8 167, Th.).

(A). — Si ab' — 6a' ^ 0, a' ^ 0, les quatre nombres a?', x", a', 0' sont finis. En supposant abf — 6a' > 0, et l'ordre suivant, pour les racines :

xf < a' < x" < p',

on a le lableau de variation que voici :

— oo

croit

(m<ix.)

décroît

mt

— oo

décroit

(min.)

croit

-f- oo

croit

-\- oo

(I) Pour voir cela facilement, on remarque que le résultant H peut se mettre sous la forme suivante :

4R sa (sac' + 2ca' — bb')* — (6* — lac) (ô'« - Wc').

(Voir \b premier Exercice 18). En appliquant cette forme du résultant, aux deux trinômes en question, on trouve, de suite, l'expression de R, sous la forme indiquée.

ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.

La courbe représentative (fig. 59) a deux asymptotes,

parallèles à oy; et une asymptote

parallèle à ox.

On peut remarquer que la valeur de y relative au minimum {x est certainement plus grande que celle qui est relative au maximum (&

Fig. 59.

car, si on se reporte à la figure 59, on voit immédiatement que, si le minimum B était plus bas que le maximum A, on pourrait tracer des parallèles à ox qui couperaient la courbe en quatre points. Il y aurait alors quatre valeurs de x donnant à y la même valeur. Or ceci est manifestement impossible, car, si on donne la valeur de y, on a, pour déterminer .r, une

équation du second degré et, par suite, à toute valeur de y il ne peut correspondre, au plus, que deux valeurs de x.

(B). — Si ab' — 6a' ^ 0, «' = 0, le dénominateur n'a plus qu'une racine finie a', comprise entre x1 et x". La courbe représentative n'a plus qu'une seule asymptote parallèle à oy. D'ailleurs, pour a: = =fc <*>, y est indéû-

Fio. co.

niment grand (car a =£ 0), il y a une asymptote non parallèle aux axes (Voir n° 124, Exemple VII, Rem.).

La courbe représentative est encore une hyperbole (fig. 60), comme dans le cas de R < 0, a' = 0.

(C). — Si al/ — baf = 0, a! est nécessairement différent de zéro; car, si a' était nul, il faudrait : ou bien que a = 0 et alors R serait nu), ou bien que 6' = 0 et alors on n'aurait plus affaire qu'à un trinôme du second degré, car le dénominateur serait constant. La dérivée ne s'annule plus que pour une seule valeur finie a/, comprise entre a' et p'.

La courbe représentative a deux asymptotes,

parallèles à oy, et une asymptote

parallèle à ox. Elle a, en supposant a& — ca' < 0, la forme de la figure 6i. On peut remarquer qu'on peut considérer cette fonction y comme ayant un minimum pour x = db ©o. En effet, ce cas peut être considéré comme un cas-limite obtenu en faisant tendre abl — 6a' vers zéro. La racine a?" disparait en croissant indéfiniment. Lorsque x passe brusquement, de + oo à — oo, la dérivée change de signe, la fonction cesse de

Fio. 61.

décroître pour croître. D'ailleurs, l'inspection de la courbe représentative (fig. 61) montre que l'asymptote y = —, , parallèle à ox, se comporte

comme une tangente en un minimum, puisque la courbe ne descend

pas au-dessous de cette asymptote. — , est donc un minimum relatif pour la fonction.

IL — Supposons bft — 4a'c' < 0.

Dans ce cas, a' est nécessairement différent de zéro (car sans cela b*2 — 4a/c/ serait positif ou nul). Le dénominateur ayant des racines imaginaires, la fonction y est finie et continue pour toute valeur réelle de x.

(A). — Si ab' — ba! *f* 0, la dérivée s'annule pour deux valeurs réelles, finies et distinctes, xr et x" , il y a un maximum et un minimum. Quand x

croît de — oo + oo, y croît de -, à un maximum, pour x = xf (en suppo-

sant abf — biï > 0) ; puis décroît jusqu'à un minimum, pour x = x''\ pour croître enfin jusqu'à -,.

La courbe représentative n'a qu'une asymptote qui est :

Elle a la forme de la figure 62.

Le maximum et le minimum sont absolus.

(B). — Si abf — 6a' = 0, la dérivée ne s'annule plus que pour une seule

FlG. 62.

valeur finie, xr. On peut dire, encore, que la dérivée a une racine infiniment grande et qu'il y a un minimum pour x = ± oo (en supposant

a& — ca' < 0). Quand x croit de — <*> à + oo, y croît de - à un maximum

(absolu), pour a? = 0?'; puis décroît jusqu'à -7 . On voit bien que la valeur-

est un minimum absolu, pour y, puisque cette fonction atteint cette valeur et ne peut pas prendre de valeurs plus petites. La courbe représentative a une seule asymptote. Sa forme générale est celle de la figure 63.

Fio. 63.