III. — Soit, enfin, b'* — 4a'c
a' est encore, ici, nécessairement différent de zéro, car, sans cela, il
faudrait que b' le soit aussi et y ne serait plus une fraction, mais se réduirait
à un trinôme du second degré. Le dénominateur ayant une racine double,
6' la fonction y est discontinue pour la seule valeur x = — — .
11 faut alors remarquer,de suite, que le résultant Rt du numérateur de la dérivée y* et du dénominateur de y est nul, puisque
Il en résuite que ces deux trinômes ont une racine commune et, par suite, que l'une des deux racines du numérateur de la dérivée est égale
(A). — Si «6' — baf ^ 0, le numérateur de la dérivée a deux racines
b' réelles, finies et distinctes, qui sont : x' = — r-ïr et x".
Supposons, par exemple, xf < x" et, comme d'ordinaire, flfr' — 6a' > 0, on a, alors, le tableau suivant de la variation :
— oo
croît
-J- oo
oo
(m ni* \
— oo
oo
décroit
(min.)
croit
En examinant ce tableau, on voit que la dérivée change de signe pour
x = — — en devenant 2a'
infiniment grande. La fonction y, pour cette valeur de x, devient également infiniment grande, mais sans changer de signe. A rencontre de ce qui se présentait jusqu'ici, le sens de la variation de la fonction change lorsqu'elle devient infiniment grande. La fonction cesse de croître pour décroître.
Tout se passe donc comme dans le cas d'un maximum. On est donc conduit à dire que la fonction -„ c. a un maximum à
Imfinu La courbe représentative a une asymptote parallèle à ox qui est :
COMPLÉMENT A L'ÉTUDE DE LA VARIATION DES FONCTIONS. 539 et une asymptote parallèle à oy qui est :
La disposition des deux branches de courbe asymptotes à cette dernière droite est spéciale, car les deux branches sont asymptotes à la même extrémité (fig. 64). On se rend, d'ailleurs, parfaitement compte du maximum à l'infini en imaginant que, dans la figure 62, on déforme la courbe de façon que le maximum A s'éloigne indéfiniment dans une direction parallèle à oy.
(B). — Si ab' — ba' = 0, la dérivée n'a plus qu'une seule racine finie qui
b' est — — . La seconde racine peut être considérée comme étant devenue
infiniment grande. Le minimum, correspondant à x", dans le cas précédent, est, alors, rejeté à Tin fini.
La valeur -, , pourx = =fc », est
un minimum absolu pour la fonction.
La courbe représentative (en supposant a& — ca' < 0) a la forme générale de la figure 63.
Dans ce cas, le résultant R du numérateur et du dénominateur de la fraction y étant nul, ses deux termes ont au moins une racine commune. Soit » une racine commune ; les deux termes sont divisibles par x — a et la fraction se simplifie. La fonction y n'est, alors, du second degré qu'en apparence.
(A) — Si ah' — ba' ^= 0, les deux termes n'ont qu'une seule racine commune (Voir n° 166) et, en divisant les deux termes par x -
Fie. 65.
a, la fraction prend la forme simplifiée : ax + d
On est ramené à étudier une fraction dont les deux termes sont du premier degré. Nous avons étudié de telles fractions. Elles varient toujours dans le même sens, et la courbe représentative est une hyperbole (Voir n° 123, Exemple IV, Rem.).
(B) — Si ab' — ba' = 0, la condition R = 0, donne :
On a donc aussi
ac' — ca' = 0.
6c' — cb' = 0.
La dérivée y' est identiquement nulle. On en conclut (n° 175, Th. I) que Ja fonction y est constante. D'ailleurs, en vertu des conditions précédentes, on a :
OL £ î;
qui est, comme nous le savons (Voir Exercice 35) la condition nécessaire et suffisante pour que la fraction y conserve toujours la même valeur numérique.
Remarqua. — Dans cet examen rapide des divers cas qui peuvent se présenter dans J 'étude de la variation d'une fraction du second degré, nous avons indiqué, brièvement, la forme générale de la courbe représentative dans chacun des cas. H est évident que, dans le cas d'un exemple numérique, il faudra calculer toutes les valeurs remarquables de y, comme nous l'avons fait dans les exemples numériques traités dans le chapitre îv du livre IV. En particulier, il faudra calculer les valeurs dey pour le maximum et le minimum.
On peut remarquer, qu'il est facile d'obtenir l'équation du second degré dont les racines sont le maximum et le minimum de y en traitant le problème suivant :
Calculer la valeur qu'il faut donner à x pour que la fraction
ax* + bx + c
prenne une valeur donnée y.
La valeur cherchée de x sera, évidemment, racine de l'équation du second degré :
y {a'x* + b'x + c') = «a* + bx -f c, qui s'écrit :
Pour que cette équation, en x, ait des racines réelles, il faut que Ton ait:
Le premier membre de l'inégalité (2) est un trinôme du second degré en y et les valeurs que pourra prendre y seront donc limitées par les deux racines de ce trinôme. Les deux racines de ce trinôme sont donc les valeurs limites de y, c'est-à-dire le maximum et le minimum.
On trouve, en développant les calculs, l'équation suivante pour déterminer les deux valeurs de y :
(&/i 4a'c')y* + 2(2ac' + 2ca' — bb')y + 6* — kac = 0.
Il est à remarquer que le discriminant de cette équation est, à un facteur numérique près, le résultant R; car on a :
4R = [lac' + 2ca' — 66')' — (6* — 4oc) (6'* — 4aV).
Ceci est, d'ailleurs, assez naturel, car il est évident que celte équation doit avoir des racines réelles en même temps que la dérivée y', et dans ce cas seulement.
