VÂ)'="VX

En d'autres termes, pour élever à la puissance p la racine uK*mc d'un nombre A, on peut extraire la racine n,è,no de la puissance p de ce nombre. Inversement, la racine nlèmc de la puissance p,ème d'un nombre est la puissance p1*1"* de la racine nlèmc de ce nombre. On observera que, dans le cas où p est égal à n, cette proposition est évidente.

444. La racine «lèmc du quotient de deux nombres A, B est égale an quotient des racines n,*,,1CH de ces nombres ; en d'autres termes, on a

n/Â nvÂ

Cette proposition pourrait se déduire de la précédente; on peut aussi

l'établir directement. Pour élever la fraction -^ à la puissance nlèmc, on

peut élever ses deux termes à la puissance n, ce qui donne- : elle est

donc bien la racine n,è,,nc de ^. En particulier, on a

Vf--L Vb "vb"

445. Étant donnée une fraction — , dans laquelle le dénominateur est la

• \b racine nièmc d'un nombre rationnel 6, on peut la remplacer par une fraction égale dont le dénominateur soit b ; il suffit de multiplier les deux termes

(n ~\n — I n I n — l \b) ou V6 , on a ainsi

\6 \bXK\b) (v6) 6

par exemple, on a

^2 V 2 X vfe 2

il est clair que, pour le calcul numérique, il est plus avantageux de calculer

V'2 avec une certaine approximation, de diviser ensuite le résultat par 2, que de diviser \ par la racine carrée de 2 ; on pourrait d'ailleurs aussi bien

calculer

VA

Si Ton applique la transformation précédente à la fraction — = du

VB

numéro précédent, on voit qu'on peut récrire

On a, par exemple,

r2 \fi \/2 X 3 \fc

3 \fe 3 3

446. Si l'indice de la racine d'un nombre A est le produit de deux nombres entiers n, p, on peut, pour extraire cette racine, extraire la racine nlén,c de A, puis la racine j)tème du résultat : en d'autres termes, on a

fl = <fîâ.

Il suffit de remarquer qu'en élevant le second nombre à la puissance np ou, ce qui revient au même, d'abord à la puissance p, puis à la puissance n, on trouve A. On observera qu'on aurait pu aussi bien écrire

np

v/a = \/Va\

D'après cela, on peut se borner, pour le calcul des racines, au cas où l'indice est premier. On a, par exemple :

Il est à peine utile de dire que, réciproquement, pour extraire la racine nièmc de ja racine pièm* d'un nombre, on peut, si l'on veut, extraire la racine (np)ièmc de ce nombre.

447. On ne change pas la valeur d'une racine en multipliant l'indice de cette racine par un nombre entier et en élevant en même temps la quantité sous le radical à une puissance dont l'exposant soit ce même nombre entier. En d'autres termes, on a