AB + BC + CD + DÊ+1Â

Remarque. — Ce théorème très important s'applique fréquemment pour trois points. Soient 0, A, B trois points, on a la relation

ÔÂ + ÂB + BÔ = 0,

d'où on peut tirer

AB = — BÔ — ÔÂ.

Or, en remarquant que

— BÔ~ ÔB, ceci s'écrit:

ÂB=ÔB— ÔÂ, (1)

qui est une forme très usitée de la relation.

Définition. — Étant donné un axe x'x {Gg. 8) sur lequel le sens positif est celui de x* vers a\ nous avons déjà vu qu'on peut fixer là

Fie. 8.

B S A jt

position d'un point quelconque A de cet axe de la façon suivante (n* 12, Remarque): Soit 0 un point fixe de cet axe appelé origine des abc i s ses, le point A sera parfaitement déterminé si on connaît là

mesure algébrique OA du segment sgOk. Car, à tout point A, correspond un nombre tel que OA et, réciproquement, étant donné un

nombre a, il existe un point A et un seul tel que OA = a. Ce point est obtenu en portant, à partir du point 0, une longueur OA égale à la valeur absolue de a dans le sens x'x ou dans le sens contraire

suivant que a est positif ou négatif. Le nombre OA qui définit ainsi la position du point A est ce qu'on appelle Yabcisse du point A. La formule de Chastes relative à trois points, mise sous la forme

(1), donne immédiatement la valeur deAB connaissant lesabcisses des deux points A et B. Puisqu'on a :

(1) ÂB = OB — OA, *- -•-

soit a l'abcisse de A et b l'abcisse de B, on a

ÂB = b — a.

En d'autres termes, « la mesure algébrique d'un segment est égale à l'excès de l'abcisse de V extrémité sur l'abcisse de l'origine. »

Cette relation importante, qui est vraie quelles que soient les positions relatives des points 0, A et B, aura de nombreuses applications dans la suite (').

24. Mouvement uniforme. — On dit qu'un mobile, qui se déplace sur un axe, est animé d'un mouvement uniforme lorsque les longueurs parcourues par le mobile dans des intervalles de temps égaux sont égales, quelle que soit la valeur commune de ces intervalles de temps.

On appelle vitesse v du mobile le segment parcouru pendant l'unité de temps, v est, alors, un nombre positif ou négatif suivant que le mobile se meut dans le sens positif ou dans le sens négatif de l'axe.

Le temps, comme nous l'avons déjà dit (n° 4), peut être compté dans deux sens différents suivant qu'il est futur ou passé. Nous considérerons un intervalle de temps t comme positif ou comme négatif suivant qu'il est compté vers l'avenir ou vers le passé. En réalité, le temps ne s'écoule que dans un sens, vers l'avenir, et on ne peut pas remonter le cours du temps. Mais, ce qui n'est pas possible dans la réalité, est possible par la pensée et on peut toujours imaginer

(1) Dorénavant, pour abréger le langage, nous supprimerons le mot mesure algébrique An segment et nous dirons simplement le segment en sons-entendant qu'il s'agit do nombre qui est la mesure algébrique de ce segment. Ainsi, nous dirons « le segment AB • au lieu de dire « la mesure algébrique AB du segment */AB ».

une suite ininterrompue d'instants remontant dans le passé. Ainsi, lorsque nous parlerons d'un intervalle de temps t négatif, nous imaginerons qu'on remonte, par la pensée, vers le passé, tous les instants qui constituent cet intervalle.

Le problème le plus simple du mouvement uniforme est le suivant : « Quel est le chemin parcouru par un mobile, qui se déplace d'un mouvement rectiligne uniforme, pendant un intervalle de temps t, avec une vitesse v ? »

Soit e le segment parcouru par le mobile, on a la relation

e = vt (1)

qui est ce qu'on appelle la formule du mouvement uniforme. Pour démontrer cette formule, nous remarquerons, d'abord, qu'elle est vraie en valeur absolue. Car, soient E, V, T les valeurs absolues de e, v, t, d'après les principes des règles de trois, puisque dans l'unité de temps le mobile parcourut le chemin Y, dans le temps T il parcourra le chemin V X T. On a donc

E = VXT

et la relation est vraie en valeur absolue. Il reste à montrer qu'elle est vraie en signe.

Supposons, d'abord, que le mobile se déplace dans le sens positif: v sera positif et vt sera positif ou négatif suivant que t sera positif ou négatif. Or, si t est positif, le temps s'écoule vers l'avenir et le mobile marche comme dans la réalité et va dans le sens positif, donc e est positif. Si / est négatif, il faut imaginer que, par la pensée, on suive les diverses positions du mobile pour une suite d'instants remontant dans le passé. Comme, en réalité, le mobile va dans le sens positif, un mobile remontant en sens inverse les positions par lesquelles le mobile a passé irait dans le sens négatif; donc e est négatif. Ainsi, dans ce cas, e et vt sont de même signe.

Supposons, en second lieu, que le mobile se déplace dans le sens négatif : v sera négatif et vt sera négatif ou positif suivant que t sera positif ou négatif. Or, si t est positif, le temps étant compté vers l'avenir, le mobile se déplace réellement et va, d'après l'hypothèse, dans le sens négatif, donc e est négatif. Si / est négatif, il faut, comme précédemment, imaginer, par la pensée, que l'on suive une suite de positions occupées par le mobile dans une suite d'instants remontant vers le passé. Le mobile remontera ainsi, dans la pensée, une suite de positions occupées et, puisqu'en réalité il marche dans le sens négatif, cette suite inverse de positions sera dirigée dans le sens

positif; donc e est positif. Dans ce second cas, « est encore du signe de vt et la formule (1) est exacte.

On appelle, d'une manière générale, formule une égalité qui indique à quels calculs il faut soumettre certaines données d'un problème pour obtenir le résultai. Une formule renferme en elle une solution générale de toutes les questions de même nature. Tandis, qu'en arithmétique, nous sommes forcés de faire pour chaque problème un raisonnement spécial nous conduisant au résultat, l'introduction des nombres algébriques nous permettra souvent, en algèbre, de représenter les données par des lettres et de trouver une formule telle qu'il n'y ait plus qu'à substituer dans cette formule les valeurs numériques des données aux lettres pour avoir le résultat. Dans le cas présent, la formule du mouvement uniforme

e = vt

exprime tout simplement ce fait qu'on obtient le segment parcouru par un mobile, d'un mouvement uniforme, pendant un intervalle d** temps donné, en faisant le produit de la vitesse par cet intervalle de temps.

Ainsi, un courrier a marché pendant quatre- heures 7 à la vitesse de

42 kilomètres à l'heure, on a :

t = 4,25, v = 12, donc e = 12 X 4,25.

Il a donc parcouru 12 X 4,25 = 51 kilomètres.

Si le même courrier marche, ensuite, en sens inverse, à 13 kilomètres h l'heure, pendant 3 heures, on a :

t = 3, v = — 13, donc e = (— 13) X 3 = — 39,

ce qui indique qu'il a parcouru, en $em inverse (à cause du signe — ), 39 kilomètres.

De la formule fondamentale (1), on peut tirer deux autres formules qui ne sont que des formes différentes de cette même formule et qui donnent la solution générale de deux autres problèmes sur le mouvement uniforme.

De la formule (1) on tire, d'abord,

Cette formule (2) exprime ce fait que « le temps qu'il faut à un

mobile pour parcourir un segment donné e, dfun mouvement uniforme, à la vitesse v, est égal au quotient de epary ».

Cette formule nous permet de résoudre les problèmes du type suivant : « Quel temps faut-il à un courrier pour faire un trajet de 45 kilomètres à la vitesse de 12 kilomètres à l'heure? »

45 15 Ici : e = 45, v = 42; donc t = — = -r = 3,75.

Il faudra donc au courrier 3 heures - •

Enfin, de la formule (1), on tire :

Ce qui exprime que « la vitesse avec laquelle un mobile doit parcourir un segment e,<Tun mouvement uniforme, pour que le temps nécessaire à ce parcours soit t, est égale au quotient de e par t ».

Nous pourrons, par cette formule (3), résoudre tous les problèmes du

même genre que celui-ci : « Quelle doit être la vitesse d'un bicycliste pour

qu'il puisse parcourir 200 kilomètres en 6 heures? » Ici, e = 200 (en

prenant pour sens positif le sens de la marche du bicycliste) et t = 6,

donc v = -£- == 33,333. Cette vitesse doit donc être de 33 kilomètres

333 mètres à l'heure.

Les trois formules (1), (2) et (3) qui, au fond, ne forment qu'une seule et même formule, nous permettent ainsi de résoudre, sans raisonnement nouveau, par une simple application numérique qui se fait d'une façon presque mécanique, tous les problèmes élémentaires que Ton peut poser sur le mouvement [uniforme.

25. Le Temps. — Pour définir un instant, nous choisissons, comme nous l'avons déjà expliqué (n° 4), un instant initial que nous appelons origine des temps.

Tout autre instant sera parfaitement déterminé, par rapport à celui-ci, si Ton donne l'intervalle de temps t qui le sépare de l'origine des temps, cet intervalle étant compté positivement dans l'avenir et négativement dans le passé. Lorsque nous dirons Vimtnnt t ou encore le temps t, nous désignerons, par là, l'instant qui est séparé de l'origine des temps de l'intervalle /.

ALGI'bRK éuiMKNT.VIRE. 5

Dans la chronologie de l'histoire, on prend comme origine des temps la date supposée de la naissance de Jésus-Christ et comme unité de temps l'année.

Un fait historique est alors précisé par sa date, c'est-à-dire par le nombre d'années qui le sépare de l'origine des temps. Avec notre convention, pour distinguer les faits passés avant ou après Jésus-Chrisl, on fera précéder les dates du signe — ou -f . Ainsi, on dira : Gharlemagne fut couronné en Tan + 800, l'Amérique fut découverte par Christophe Colomb en Tan 4- 4492, la bataille de Marathon eut lieu en l'an — 490.

Théorème. — Etant donnés deux instants t et t', l'intervalle de temps depuis Vinstant V jusqu'à l'instant t est égal à t — t'. (En convenant , comme toujours, de regarder un intervalle de temps comme positif ou négatif suivant qu'il est dirigé vers Vavenir ou vers le passé.)

Pour démontrer cette propositition, imaginons un mobile se déplaçant dans le sens positif sur un axe x'x avec une vitesse égale à + 1 . Dans ce cas particulier, la formule e = w/, puisque t? = 1 , donne e = /, ce qui prouve que les segments parcourus par ce mobile ont même mesure algébrique que les intervalles de temps employés à les parcourir. Cela étant, soit <o la position du mobile à l'origine des temps, a sa position au temps t et p sa position au

temps t'. Le segment wa a été parcouru dans le temps t, donc

o>a = t, de même o>p = f . Dans l'intervalle de temps depuis l'instant ? jusqu'à rinstant f, le mobile a été de p en oc et a donc parcouru le segment 8a, par suite, l'intervalle de temps de tr jusqu'en / a même mesure que pa.

Or, d'après le théorème de Chasles (n° 23)

pâ = <ôï — "wp = t — t'.

Donc cet intervalle de temps est égal ht — t'.

Exemples. — En reprenant les exemples tirés de la chronologie de l'histoire, on peut faire aisément des calculs d'intervalles de temps avec la convention que nous avons admise.

Alexandre le Grand est né en l'an — 356 et mort en l'an — 323, il a donc vécu

(— 323) — (— 356) = 356 — 323 = 33 ans.

L'empereur romain Auguste naquit en l'an — 63 et mourut en l'an + 14, il a donc vécu

(+ 14) — (— 63) = 14 + 63 = 77 ans.

Formule générale du mouvement uniforme. — La

formule e = vt que nous avons établie, nous donne le segment parcouru par le mobile dans un intervalle de temps donné. Par conséquent, si on connaît la position du mobile au commencement de l'intervalle de temps (c'est-à-dire l'origine du segment e), la formule nous permettra de connaître la position finale du mobile à la fin de l'intervalle de temps /(c'est-à-dire l'extrémité du segment). Cette formule ne fournit donc pas la position du mobile à chaque instant, mais la distance qu'il a parcourue dans un temps donné en partant d'un point qui n'est pas fixé. De cette formule on peut en tirer facilement une autre qui nous donnera à chaque instant la position du mobile.

Considérons un mobile se mouvant sur un axe. Nous compterons le temps à partir d'une origine arbitraire, mais fixée une fois pour toutes, comme nous venons de l'expliquer.

Pour fixer la position du mobile sur Taxe, nous choisissons sur cet axe un point fixe 0 comme origine des abcisses et nous prendrons Vabcisse (n° 23) du mobile à chaque instant. Le problème le plus général du mouvement uniforme est alors le suivant :

« Un mobile parcourt un axe, d'un mouvement uniforme, avec une vitesse v. Au temps to il était en un point d'abcisse x<>. Quelle sera Vabcisse x de sa position au temps t ? »

Soit M la position du mobile au temps t, M, sa position au temps f0. Dans l'intervalle de temps de f0 à /, qui est égal, comme nous venons de le voir, à * — t0, le mobile aura parcouru le segment M0M. On aura donc, en appliquant la formule du mouvement uniforme,

Or, x0 et x étant les abcisses des points M« et M, on a (n° 23) :

Donc : x — x0 = v(t — f0),

ou, en ajoutant x0 aux deux membres de cette égalité,

C'est la formule générale du mouvement uniforme. Pour chaque instant t, elle donne la valeur de Vabcisse x du mobile. Cette formule nous permettra donc de connaître, à chaque instant, la position du mobile.

Exemple 1. — Un train part de Pans à midi 45 minutes et marche avec la vitesse de 58 kilomètres à Vheure.

Prenons pour origine du temps midi du jour du départ et pour origine des abcisses Paris. On a : a?. = 0, t0 = 0,k75 (l'unité de temps étant l'heure), v = + 58 (l'unité de longueur étant le kilomètre). On a donc, pour ce train :

Cette formule nous permet de connaître la position du train à chaque instant. Ainsi,

Donc, à 2h 30°°, le train était à 101 kilomètres 500 mètres de Paris; à 3h 15B, à 145 kilomètres et, à 4h, à 188 kilomètres 500 mètres.

Exemple II. — Un bicycliste, faisant la route de Strasbourg à Bordeaux par Paris, marchant à la vitesse de 23 kilomètres à Vheure, a passé à Poitiers (338 kilomètres de Paris) le 15 juillet 18«4, à 2h 30" de V après-midi.

Prenons pour origine des abcisses Paris et pour sens positif des abcisses le sens de marche du bicycliste. Preuons pour origine des temps minuit dans la nuit du 14 au 15 juillet. L'unité de temps est l'heure et l'unité de longueur le kilomètre.

On a, alors : t? = 23, xa = 328, /. = 14,5 ;

donc, la formule de marche du bicycliste est :

Le 15 juillet, à 4h du soir, t = 16, donc :

Je bicycliste était à 362 kilomètres 500 mètres après Paris. Le 15 juillet, à midi, t = 12, donc :

il se trouvait à 260 kilomètres 500 mètres après Paris. A minuit, dans la nuit du 14 au 15 juillet, t = 0, donc :

il se trouvait à 5 kilomètres 500 mètres avant Paris, puisque Tabcisse trouvée est précédée du signe — .

A 10 heures du soir, le 14 juillet, t = — 2, donc :

le bicycliste était à 51 kilomètres 500 mètres avant Paris. On peut calculer, de la sorte, toutes les positions du bicycliste.

— De la formule (4) on pourrait tirer deux autres formules, de même que, de la formule (1) du n* 24, nous avons tiré les formules (2) et (3).

On a, en effet, x — x0 = v (t — t0) ;

on en conclut, par la définition même du quotient, que :

JC """" — M'A

d'où, en ajoutant /„ aux deux membres de cette égalité,

Cette formule (5) fournit l'instant t auquel le mobile a passé au point d'abcisse x.

Ainsi, en reprenant Y Exemple II précédent, on a :

ii K , /* — 328\ ' = l4'5 + (—23—)

et cette nouvelle forme de la formule va nous permettre de déterminer tes heures auxquelles le bicycliste a passé en des points déterminés.

A Strasbourg, 453 kilomètres avant Paris, x = — 453,

/ ml k j A-453--328\ .... 781

le bicycliste est donc parti de Strasbourg 19,45 heures avant minuit du 14 juillet, c'est-à-dire à 6 heures 33 minutes du matin, le 14 juillet. A Paris, x = 0, donc :

il a passé à Paris le 15 juillet à minuit, 14 minutes, 24 secondes. A Bordeaux, 575 kilomètres après Paris, x = 575, donc :

il est donc arrivé à Bordeaux 25,23 heures après minuit du 14 au J5 juillet, c'est-à-dire qu'il est arrivé le 16 juillet à 1 heure, 13 minutes, 48 secondes du malin.

— Enfin, légalité

-70 ALGÈBHE ÉLÉMENT A 111 K.

prouve aussi que :

formule qui donne la vitesse que doit avoir un mobile pour passer au temps t© au point d'abcisse x0 et au temps t au point d'abeisse x.

Exemple. — Un train allant de Pans à Marseille a passé à 2h 44'° à Dijon et à 5h 4im à Lyon. La distance de Paris à Dijon est de 315 kilomètres et de Patis à Lyon de 507 kilomètres. Quelle était la vitesse du train?

Prenons Paris pour origine des abeisses et midi pour origine du temps.

A Dijon, a?0 = 315, (. = 2,73;

à Lyon, x = 507, t = 5,68;

donc la vitesse v est donnée par la formule :

La vitesse du train était donc de 65 kilomètres, 80 mètres, à l'heure.

26. Doit et Avoir. — Comme nouvelle application, nous montrerons comment l'usage des nombres positifs et négatifs peut simplifier l'évaluation du bilan d'un commerçant.

Supposons qu'on considère comme positives toutes les sommes perçues ou à j)ercevoir et qu'on considère comme négatives les sommes que le commerçant apayées ou qu'il devra payer. Nous allons établir, qu'avec cette convention, le bilan du commerçant est la somme algébrique de toutes les sommes perçues ou payées.

Considérons, d'abord, deux opérations consécutives et le résultat de ces deux opérations : 1° Si les deux opérations sont deux encaissements, le commerçant aura reçu une somme d'argent égale k la somme des deux encaissements. Le résultat sera donc bien le nombre positif qui est la somme des deux nombres positifs représentant les sommes encaissées.

2° Si les deux opérations sont deux paiements, le commerçant aura, en tout, fait un paiement égal à la somme des deux paiements partiels. Son bilan, au bout des deux opérations, est donc le nombre négatif qui est la somme des deux nombres négatifs représentant les paiements.

3° Si l'une des opérations est une recette et l'autre un paiement. Si la recette est égale au paiement, le bilan est nul et, effectivement, la somme du nombre positif représentant la recette et du nombre

négatif représentant le paiement est 0. Si la recette surpasse le paiement, le bilan sera un encaissement égal à l'excès de la recette sur le paiement. Ce sera donc un nombre positif égal à la différence des valeurs absolues des deux nombres représentant la recette et le paiement. C'est donc bien la somme algébrique de ces deux nombres. Enfin, si le paiement dépasse la recette, le bilan des deux opérations sera un débours égal à l'excès du paiement sur la recette. Le bilan sera un nombre négatif ayant pour valeur absolue l'excès de la valeur absolue du nombre négatif qui représente le paiement sur la valeur absolue du nombre positif qui représente la recette. Ce nombre négatif est bien la somme algébrique de ce nombre positif et du nombre négatif.

Donc, dans tous les cas, si on désigne par a et b le nombre de francs positifs ou négatifs, reçus ou payés à chaque opération, le bilan de deux opérations successives est a -f- b.

Le bilan de trois opérations a, £, c sera (a + b) -f-c ou a -f- b -\- c et ainsi de suite.

D'une manière générale, si un commerçant a payé ou reçu successivement a, 6, c, dy e francs (négatifs ou positifs), le bilan de ces cinq opérations sera a + b -\-c -\-d-{-e.

Exemple. — Un commerçant pourrait donc établir son compte de la façon suivante :

Reçu de X + 415f,50

Payé à la maison de produits chimiques — 792', i 5

Acheté, en timbres-poste — 25r,00

Reçu le paiement de la facture n* 137 + 4375f,65

Contributions et patente — K3 lf,15

Payé : mémoire d'architecte — 841f,75

Bltan I 12190S05

Soit — 398f,90

Le commerçant a donc, en tout, payé 3 98', 90 puisque le total est un nombre de francs négatif.

Pour faire la somme algébrique nous avons, en suivant la règle établie (n°8), fait la somme des nombres posilifs, la somme des nombres négatifs, pais ajouté ces deux sommes.

Dans la pratique, on ne dispose pas l'opération comme nous l'avons fait, mais on s'arrange de façon à faciliter les deux additions partielles des nombres positifs et négatifs. On inscrit sur une page les recettes et sur la page, en regard, les dépenses. On additionne séparément les dépenses et les recettes et on fait la différence entre les deux sommes qu'on inscrit du

côté des receltes (nombres positifs) ou du côlé des dépenses (nombres négatifs), suivant que les receltes surpassent les dépenses ou réciproquement. — C'est ce qu'on appelle faire la balance. On voit donc, qu'au fond, nn commerçant qui fait la balance de son Livre, ne fait autre chose qu'une somme algébrique d'après la règle du n° 8; mais, au lieu de distinguer les recettes et les dépenses par les signes + ou — , il les distingue par les pages sur lesquelles il les inscrit : page de droite ou page de gauche.

27. Exposantn négatifs. — Nous avons vu (nfl 19) que, lorsque m > jp, on a l'égalité

Celte règle ne s'applique que pour m > p. Pour m <; p elle n'aurait plus aucun- sens, car m — p serait négatif ou du moins elle n'aura un sens que si nous convenons de lui en donner un. Si donc,

par convention, on admet que a ~l représentent — lorsque

m — p < 0 on arrive à la conclusion que l'on doit avoir

car nous avons vu (n# 19) que, lorsque m <;>,

al 1

a ar

L'extension de la règle du quotient de deux puissances nous conduit ainsi à la conception de puissances négatives et à la définition suivante :

Définition. — m étant un nombre arithmétique tel que am ait un

sens, on désigne par a" m l'inverse de am. La puissance zéro d'un nombre quelconque, autre que zéro, est 1. Donc, par définition, \ t

Lorsque a est un nombre positif, am est défini, en arithmétique, m étant un nombre quelconque entier ou fractionnaire (même incommensurable), a~ m est alors défini pour m entier ou fractionnaire.

APPLICATIONS DES NOMBRES POSITIFS ET NÉGATIFS. 7a

Ainsi, 5 = -3, 2 = -, = -,