î = L^JL, 3-*= L

3* V31' 3* fa

Lorsque a est un nombre négatif, a n'est défini que pour m entier et, par suite, a~m n'est aussi défini que pour m entier.

Ainsi,

H2) = TZH^Ï* H 4)~ = |-ItïÏ7, (- 3)o = I.

— Les puissances négatives jouissent des mêmes propriétés que les puissances positives, c'est ce que nous allons montrer.

Théorème I. — m désignant un nombre positif ou négatif, on a légalité :

Lorsque m est positif, cette égalité résulte de la définition même des exposants négatifs. Il n'y a donc lieu de la démontrer que dans le cas où m est négatif. Soit m' la valeur absolue de m (m = — m'),

on a : a = a

d'autre part, on a aussi :

* * * - mr mr

Donc,

Théorème II. — ; Ze produit de deux puissances (positives ou négatives) d'un même nombre est une puissance de ce nombre ayant pour exposant la somme algébrique des exposants des deux facteurs.

Je dis que a .a : = a

Le théorème est vrai, comme nous le savons (n° 19), lorsque m el p sont positifs, il faut donc le démontrer lorsque l'un au moins de ces deux nombres est négatif.

2" Soit m < 0 et p > 0, m = — ,„',

on a („«)" = („-«')" = ( 1 V = * = ^ = a— >

\am) (a"f a"

Donc (a™y a(-».> aB.„

3«Soit m<0 et ;> < 0, m = — m', p = - p\ on a

\a f V1 ) ** Donc :

4° Enfin, il reste à examiner les deux cas où l'un des deux expo sants est nul.

Si l'un des deux est nul, le produit mp est nul et on a :

mp o *

D'autre part, si m = 0,

El si p = o,

(«"/ = (amy = 1.

Donc, dans les deux cas,

(a-)' = a"', puisque les deux membres sont égaux à 1 .

Exemples :

6. Étant donnés quatre points quelconques A, B, C, D, sur un axe, on a la relation segmentaire suivante

XBxCD-fÂCxDB+ÂDXBC=0.

(Gbasles.)

7. Étant donnés quatre points A, B, C, D, sur un axe, si on désigne par la notation

(AB, CD) le quotient

ÂC BC

ÂD ' Bd' montrer que :

1* Si on permute deux lettres d'un même groupe, le nouveau rapport est l'inverse du précédent :

(BA, CD) = l

ou (AB, DC) =