AD, BC

De ce qui précède, on conclut que, si on considère les 24 quotients (AB, CD), (BA, CD), (BC, AD), etc., obtenus en écrivant les lettres A, B, C, D dans tous les ordres possibles, ces 24 quotients sont égaux quatre par quatre. Il n'y en a donc que six différents. Si on désigne par p l'un de ces quotients, les valeurs des six quotients différents sont :

Pour que, parmi ces six quotients, en général différents, il y en ait deux égaux, il faut et il suffit que l'un au moins de ces quotients soit égal à ( — 1) ou à (-f 1).

8. La dislance de la terre au soleil est d'environ 38196000 lieues. On sait que la lumière met 8"13* pour venir du soleil. Quelle est, en lieues, la vitesse de ia lumière ?

9. Une personne dispose de a heures pour faire une promenade. Jusqu'à quelle distance pourra-t-elle se rendre sachant que sa voiture fera b kilomètres à l'heure à l'aller et c kilomètres à l'heure au retour, sans arrêt?

(Todhunter).

10. Deux courriers M et N parcourent la ligne OB. Au départ, ils sont situés, respectivement, en A et B tels que

ÔS = <i, ÔB = b

(on prendra comme sens positif le sens de 0 vers B). Les vitesses des deux courriers sont v et u. Trouver des formules pour exprimer, au temps /, la distance

ar=MN

des deux courriers et l'abcisse y du milieu de la droite qui les joint (0 étant l'origine des abcisses).

(J. Bertrand).

il. On pose

montrer que Ton a :

jc3+.c~~3=a$— 8a et, d'une façon générale, si on désigne xn + x~~n par Sn, on a :

S»==aSrt-!"~S»-I-

12. Montrer que, si à tout nombre entier, positif ou négatif, x, on fait correspondre un nombre y tel que, pour

x=l, on ait : y = a

et que, si y' et y" sont les valeurs de y qui correspondent aux valeurs x/ et x" de x, y V soit la valeur de y qui correspond à la* valeur x' -\-x" de x (et cela quels que soient les nombres entiers x' et x"), on a, pour toute valeur entière de x,

y = ar.

Pour démontrer cette proposition on fera, successivement,

y = l, x"r=l, x' = 2, *"=lt

En faisant je'rs 1, #"=(), on en conclura que la valeur de y qui correspond à la valeur 0, de », est 1. Puis on fera, successivement,

a/rrrl, *"=— 1, .^ = 1, x"s= — 2,

CUSSlFJCATIOiN DES EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES. ~9