NOTION DE FONCTION
28. En algèbre, on fait usage de lettres pour désigner des nombres, usage que nous avons fait dans les chapitres précédents. On emploie de préférence de petites lettres en réservant les lettres majuscules pour désigner des nombres arithmétiques (').
L'emploi des lettres donne au raisonnement une très grande généralité et de la simplicité. On arrive à des formules, comme nous en avons trouvé à propos du mouvement uniforme (n° 24), qui donnent la solution générale de tous les problèmes dont l'énoncé ne diffère que par les valeurs numériques des données.
Les lettres, représentant, comme nous venons de le dire, des nombres connus ou à connaître, toutes les règles de calcul que nous avons établies pour les nombres algébriques et pour les opérations sur ces nombres, -peuvent s'appliquer à ces lettres qui ne sont que des symboles représentant ces nombres.
29. On appelle expression algébrique un ensemble de lettres et de nombres réunis par quelques-uns des signes des opérations. En d'autres termes, c'est l'indication d'un certain nombre d'opérations à effectuer sur des lettres et des nombres. Ainsi,
ôa*bc + t— j — , rrr
b -j- c ka — bb
sont des expressions algébriques.
Une expression est rationnelle lorsqu'elle ne contient l'indication d'aucune extraction de racine portant sur une partie littérale. Dans le cas contraire elle est dite irrationnelle. Ainsi, dans une expression rationnelle peuvent figurer des extractions de racines de nombres.
(I) L'usage exclusif des lettres, pour désigner des nombres, remonte à Viète (15*0-1003), géomètre français, qui, le premier, publia un petit traité ayant pour titre Ad logisticen sjxcicxam nota priores, dans lequel il désigna tous les nombres par des lettres. Avant Viète, les mathématiciens no faisaient leurs opérations que sur des nombres ; l'inconnue seule et ses puissances étaient représentées par des abréviations on des signes. Ainsi l'inconnue à la premièro puissance était souvent représentée par le signe (?) , a la deuxième puissance par (7) , etc...
Les expressions :
3q36c a — 6 \fiab 2c— Vâd
d + cd ' 3c + 4
sont rationnelles, car «wcwne fettre ne figure sous un radical. Au contraire, les expressions :
vi — Ti kx + ^ + y*
Va?* — y*
sont irrationnelles.
terne
Comme on n'a défini ce qu'il faut entendre par racine m* d'un nombre que pour les nombres arithmétiques ou positifs, nous supposerons, essentiellement, que dans toute expression irrationnelle on n'attribue aux lettres qui figurent sous les radicaux que des valeurs numériques telles que les quantités placées sous les radicaux soient positives.
Lorsqu'une expression rationnelle ne contient aucune lettre au dénominateur, elle est dite entière. Dans le cas contraire, elle est fractionnaire.
Les expressions
3a36 + 4«*&*, | xy* + fi x* — x (#3 — y3)
sont entières. Au contraire, les expressions
a + b iW?î + bx + c
a — 6* a'x* -f- b'x + c' sont fractionnaires.
On appelle valeur numérique d'une expression algébrique le nombre que Ton obtient quand on remplace les lettres par les nombres qu'elles représentent et qu'on effectue les opérations indiquées par les signes. (11 est bien entendu qu'on suppose toujours que ces lettres ne représentent que des nombres tels que les opérations soient possibles, c'est-à-dire que les dénominateurs soient différents de zéro et que les quantités sous les radicaux soient positives.)
Par exemple, soit l'expression
kab
sa valeur numérique, pour
est
On dit que deux expressions algébriques sont équivalentes lorsqu'elles ont même valeur numérique, quels que soient les nombres que représentent les lettres qu'elles contiennent.
Ainsi :
a + b et b + «> a + ( b — c) et a + b — c, a — (6 — c) et a — b + c,
-v et ao, a*
sont des expressions, équivalentes car, quelles que soient les valeurs des nombres a, 6 et c, elles ont deux à deux même valeur numérique.
L'égalité de deux expressions équivalentes est ce qu'on appelle une identité. Pour distinguer les identités des autres égalités, nous emploierons le signe = (avec trois barres) au lieu de =.
Nous écrirons :
a + b = b + «, a 4- (6 — c) es a + b — c, a — (6 — c) s a — 6 + c, a*b a1
30. Toute quantité qui dépend d'une autre est dite fonction de cette autre. Par exemple, considérons l'expression algébrique
2ar — 3.
Sa valeur numérique dépend de la valeur numérique de la lettre x. Pour jr = l, l'expression a la valeur — 1; pour x = 2, elle a la valeur + i î pour x =■ 3, la valeur 3, etc.. La valeur numérique de l'expression algébrique est donc une fonction de la valeur de la lettre x. Plus brièvement, on dit que l'expression algébrique est une fonction de x.
Toute lettre, telle que la lettre x dans l'exemple précédent, dont la valeur n'est pas fixée, c'est-à-dire dont la valeur numérique est
AliOiCBRK ÉI^MSNTAIBB. 6
susceptible de varier, est ce qu'on appelle une lettre variable ou plus simplement une variable.
Par opposition, on appelle lettre constante, ou simplement constante, une lettre dont la valeur est fixée.
Généralement, on désigne les constantes par les premières lettres de l'alphabet, a, 6, c... a, p, y... (lettres connues), et les variables par les dernières lettres de l'alphabet a?, y, z, f... Ç, Ç, t... (lettres inconnues ou non fixées).
Toute expression algébrique qui contient une ou plusieurs variables est une fonction de cette ou de ces variables.
Pour désigner une fonction de la lettre x on emploie le symbole abrégé f(x)y ce qui se lit fonction de x ou, plus brièvement, f de x. Lorsqu'on a plusieurs fonctions différentes à désigner, pour ne pas les confondre, on affecte la lettre /d'indices. Ainsi, /\(ar), ft(x), fs(x) désignent trois fonctions différentes de or, et on lit ceci : f indice 1 de x, f indice 2dex, f indice 3 de x. Ou bien encore, pour distinguer des fonctions différentes, on remplace la lettre f par des lettres analogues. Ainsi, on emploiera les symboles F(x), <p(#), ty(x), etc.
Pour désigner la valeur numérique que prend une fonction pour une valeur donnée de la variable, on remplace, dans le symbole qui désigne la fonction, la lettre qui désigne la variable par cette
valeur. Ainsi, /"(l), f( — 3), fi -j désignent les valeurs numériques de
la fonction f(x) pour a? = 1, x = — 3, a? = - .
Par exemple, considérons l'expression algébrique
qui est une fonction de la variable y que nous désignerons par f{y); on aura
Al) ={'-3+5 = 3,
f[ - 3) = ( - 3)* - 3 ( - 3) + 5 = 23, /HO) = 0 — 0 +3 = 5.
Des exemples de fonctions sont très fréquents et leur considération dans l'algèbre et dans ses applications est de la plus grande utilité.
La quantité d'huile que consomme une lampe, en brûlant, est fonction du temps pendant lequel cette lampe a brûlé. Si, par exemple, la lampe brûle 5 centimètres cubes d'huile en une heure, elle brûlera pendant l heures ou fractions d'heures 5f centimètres
cubes. L'expression 51, qui est une fonction de la variable t, représente donc la quantité d'huile consommée pendant le temps U Si on désigne par q cette quantité d'huile, exprimée en centimètres cubes, on a la formule :
D'une manière générale, toute formule exprime une certaine quantité en fonction d'une autre. La formule du mouvement uniforme (n° 25) en est un exemple. Un mobile se meut, d'un mouvement uniforme, avec une vitesse connue v, sur un axe. On sait qu'au temps t0 son abcisse était x9 ; son abcisse x au temps t est, alors, donnée par la formule :
qui montre que l'abcisse x du mobile est une fonction du temps f. Dans cette formule, les trois nombres t0, xQ et v, qui sont trois données, sont trois constantes , t est la variable et x est la fonction.
En Physique, toute loi, régissant un phénomène, exprime une certaine quantité en fonction d'une autre ou de plusieurs autres.
Par exemple, on sait que la longueur d'une barre de fer dépend de la température de cette barre. La longueur de la barre est donc une fonction de la température. La loi de la dilatation nous apprend que, si a est la longueur de la barre à la température 0 et k un certain nombre, appelé coefficient de dilatation, qui dépend de la matière dont est formée la barre, la longueur / de la barre, à la température t, sera donnée par la formule :
l = a{[ +kt).
L'expression a(\ -f- kt), où a et A; sont des constantes et t la variable, est donc la fonction de t qui représente la longueur de la barre.
31. D'après sa définition même, la valeur d'une fonction varie, en général, lorsque la valeur de la variable varie.
On dit que deux quantités qui varient simultanément varient dans le même sens si elles croissent ou décroissent simultanément. On dit, au contraire, qu'elles varient en sens contraire lorsque l'une croit quand l'autre décroît. Ainsi, en arithmétique, deux quantités directement proportionnelles varient dans le même sens. Le poids d'une marchandise et son prix varient dans le même sens. Deux quantités inversement proportionnelles varient en sens contraire. Le temps nécessaire pour faucher un pré et le nombre des faucheurs varient en sens inverse. Car, lorsque le nombre des fau-
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cheurs augmente, le temps diminue et, lorsque le nombre des faucheurs diminue, le temps augmente.
On dit qu'une fonction est croissante Lorsqu'elle varie dans le même sens que la variable. Par suite, lorsqu'une fonction est croissante, sa valeur crott ou décroit suivant que la valeur de la variable croît ou décroît. Par exemple, le prix d'une marchandise est fonction de son poids. Le poids et le prix varient dans le même sens; le prix est donc une fonction croissante du poids.
On dit qu'une fonction est décroissante lorsqu'elle varie en sens contraire de la variable. Il suit de là que, lorsqu'une fonction est décroissante, sa valeur augmente lorsque la valeur de la variable diminue ou diminue quand la valeur de la variable augmente. Ainsi, la quantité d'huile qui reste dans une lampe est une fonction décroissante du temps pendant lequel cette lampe a brûlé ; car, plus la lampe a brûlé longtemps moins il reste d'huile.
Voici d'autres exemples :
La longueur d'une barre de fer est, comme nous l'avons vu, une fonction de sa température. Or, lorsque la température de la barre s'élève, la barre s'allonge et, lorsque la température baisse, la barre raccourcit. La longueur de la barre est donc une fonction croissante de la température.
Lorsqu'on comprime une masse de gaz, le volume de la masse de gaz diminue et sa pression augmente. Au contraire, lorsque la pression du gaz diminue, le volume du gaz augmente. Le volume d'une masse de gaz est donc fonction de sa pression. La loi de Mariotte nous apprend que, si p est la pression du gaz et v son volume, le produit pv (à température constante) reste constant. c désignant donc un certain nombre fixe, une constante, on a légalité
pv = c
ou
Le volume du gaz est donc une fonction décroissante de sa pression représentée par l'expression -. Cette expression montre bien que la fonction est décroissante, car on sait, en arithmétique, que, lorsque le dénominateur p d une fraction - diminue, la fraction augmente, et réciproquement.
32. On appelle monôme une expression algébrique qui ne contient ni le signe + nî Ie signe — .
Ainsi,
Aa*bjb*c, \a \ib*
sont des monômes irrationnels ;
sont des monômes rationnels mais fractionnaires ; enfin,
- 06*, - a*bacb, èxyx* o D
sont des monômes entiers.
Des définitions mêmes d'une expression entière et d'un monôme, il résulte qu'un monôme entier est une expression qui s'obtient, uniquement, par la multiplication de nombres et de lettres. Ainsi,
- xykxxy, xlabx, aaabcc
sont des monômes entiers. Puisque, dans un produit de facteurs, on peut intervertir Tordre des facteurs et remplacer plusieurs facteurs par leur produit effectué (n° 15), on peut toujours écrire les premiers les facteurs numériques puis réunir ensemble les facteurs égaux et les remplacer par une puissance. Ainsi, on a :
- xy 4 xxy = - X 4 xxxyy — j x*y*;
x 2 abx = 2 abxx = 2 abx*.
On peut donc toujours écrire un monôme entier de façon qu'il soit le produit d'un nombre par des puissances entières de certaines lettres.
Le nombre, qui se trouve en avant du monôme, est ce qu'on appelle le coefficient du monôme.
Le coefficient de — z*y* est—-; le coefficient de îabx* est 2; le coefû-
oient de a*bcl est i, car, lorsqu'il n'y a pas de nombre, on peut toujours supposer qu'il y ait, en avant, le facteur I, puisque :
a*bc* = i X a*6c*.
On appelle degré d'un monôme entier la somme des exposants des
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lettres qui le composent (toute lettre qui n'a pas d'exposant est considérée comme ayant l'exposant 1).
Le degré de — x*y* est 3 + 2 = 5 ; le degré de 2abx* est I + { 4-2 = 4.
33. On appelle polynôme une somme algébrique de monômes. Les monômes, avec les signes qui les précèdent, sont les termes du polynôme. Un terme d'un polynôme peut être complètement numérique, c'est-à-dire ne pas contenir de lettres; un tel terme peut être considéré comme un monôme contenant des lettres à l'exposant zéro et, par suite, comme un monôme de degré zéro.
Ainsi,
