lî + 15 est un polynôme dont les termes sont

if*, 2«>, -?£et«.

C lu

Un polynôme peut être irrationnel ou rationnel, fractionnaire ou entier.

Un polynôme qui n'a que deux termes est appelé un binôme; s'il a trois termes, on le nomme trinôme.

Un polynôme entier est une somme algébrique de monômes entiers. Le degré d'un polynôme entier est le degré du monôme de degré le plus élevé qui y figure.

Ainsi,

4x3 — 5at» + f x -f 1

est un polynôme de degré 3.

a?» — 4, est un binôme du second degré.

x* + px + q, est un trinôme du troisième degré.

a* + 4a3ô + 6«fi>* + 4a68 + 6*

est un polynôme du quatrième degré. Dans ce polynôme, tous les monômes sont du même degré qui est, alors, le degré du monôme de degré le plus élevé,

Un polynôme entier est dit homogène lorsque tous ses termes sont de même degré. Le degré commun de tous les termes est ce qu'on appelle le degré d'homogénéité ou, plus brièvement, le degré du polynôme.

Le polynôme précédent

est homogène et de degré 4.

De même, le polynôme

a* — 3ar» + 3a*x — a3 est homogène et de degré 3.

On appelle termes semblables, dans un polynôme entier, des termes

qui ont même partie littérale et qui ne diffèrent que par les

coefficients. Dans le polynôme entier

kax* — 2a*x + - ax* — x* — Sax* -+" a*&

ka x*, -f" â a^i — ^ax%

sont des termes semblables.

Un polynôme étant une somme algébrique, on peut lui appliquer toutes les transformations permises pour une somme algébrique (n° 10). On peut réunir tous les termes semblables et les remplacer par leur somme effectuée. Or, pour faire la somme des termes semblables on peut mettre en facteur, comme nous l'avons expliqué au n° 20 {A pp. II), la partie littérale commune et faire la somme algébrique des coefficients.

On a, par exemple :

4ax3 + s ax9 — oaa* = ^4 + | — 5^ a*3 = i ax*.

De même, le polynôme

peut s'écrire, en intervertissant Tordre des termes (n* 10),

(a* + 2a*) + (5a*6 — 3a36 + a*6) + {— 5a«&« — 2aW) ou :

et enfin :

De là on conclut la règle suivante pour faire ce qu'on appelle la réduction des termes semblables.

Règle. — Lorsque, dans un polynôme entier, il y a plusieurs termes semblables, on peut remplacer tous ces termes par un seul qui leur est semblable et qui a pour coefficient la somme algébrique des coefficients de ces termes.

On appelle polynôme réduit un polynôme dans lequel la réduction des termes semblables a été effectuée ou, en d'autres termes, un polynôme dans lequel il n'y a pas de termes semblables.

Exemples :

Réduire les polynômes suivants :

s 6* + 6a36 — aW