j;3 a* .( ix* a* + 5 — 3X

^ (t«3 + 2*3 — 5ar3) — *» + ( — ** — 3x» + 4a1) + (5 + 15)

Dans la pratique, on néglige d'écrire le polynôme intermédiaire, obtenu en intervertissant l'ordre des termes ; on effectue, successivement, mentalement, la réduction de tous les termes semblables et on écrit seulement le terme réduit.

Ainsi,

Pour faciliter la réduction, il est bon de barrer, dans le polynôme donné, les termes qu'on vient de réduire.

34. On peut, comme nous l'avons déjà dit, appliquer à un polynôme toutes les transformations permises pour une somme algébrique (n° 10). En particulier, on peut écrire les termes du polynôme dans tel ordre que Ton voudra, Il y a souvent avantage à employer un ordre plutôt qu'un autre pour ranger les termes d'un polynôme.

Lorsque les termes d'un polynôme entier, réduit, ne contiennent qu'une seule lettre, on dit que le polynôme est ordonné suivant les puissances croissantes si les termes sont rangés de telle façon que les exposants de la lettre aillent en croissant, quand on lit

le polynôme de gauche à droite. Les polynômes

sont ordonnés suivant les puissances croissantes.

On dit, au contraire, que le polynôme est ordonné suivant les puissances décroissantes si les exposants de la lettre vont en décroissant, quand on lit le polynôme de gauche à droite. (Tout terme qui ne contient pas la lettre peut être considéré comme la contenant à l'exposant zéro, puisque x° = a0 = 1 .)

Les polynômes

— 5ar4 + ar3-{-a? + 4, 6,ï«-{-a5 — a" + 3a,

sont ordonnés suivant les puissances décroissantes.

Lorsque les termes d'un polynôme entier, réduit, contiennent plus d'une lettre, on dit que le polynôme est ordonné suivant les puissances croissantes ou décroissantes d'une certaine lettre, si les termes sont rangés de telle façon que les exposants de cette lettre dans ces termes aillent en croissant ou en décroissant quand on lit le polynôme de gauche à droite. Tout terme qui ne contient pas la lettre ordonnatrice est censé la contenir à l'exposant zéro.

Le polynôme entier réduit

a* 4. Wb + 6aW + bob* + 6*

est ordonné suivant les puissances croissantes de la lettre b et suivant les puissances décroissantes de la lettre a.

Lorsqu'un polynôme entier contient une variable, c'est-à-dire est une fonction d'une variable, on l'ordonne, en général, suivant les puissances de cette variable. Ainsi, les polynômes

ax* -f- bx -f- c ar3 — 3ax* + 3a*x — «8

sont ordonnés suivant les puissances décroissantes de la variable x. Lorsqu'un polynôme réduit contient plus d'une lettre, il peut arriver qu'il existe plusieurs termes non semblables et contenant la même puissance de la lettre ordonnatrice. Dans ce cas, on réunit tous les termes qui contiennent une même puissance de la lettre ordonnatrice et on met, dans ces termes, la puissance commune en facteur (n# 20, App. II). Dans la parenthèse figure alors un polynôme entier que Ton ordonne aussi. Tous les termes qui contiennent

une même puissance de la lettre ordonnatrice forment, ainsi réunis, ce qu'on appelle un seul terme du polynôme et le coefficient de ce terme est le polynôme entre parenthèses. Par exemple, soit à ordonner le polynôme réduit :

ax* + air8 — 2abx* + bx* -f ar4 + bV + a*x — a* — b*x + V\

nous l'écrirons :

rf + (a + b)x* + (a* — 2ab + b*)x* + (a3 — b*)x — a* + £*,

et il est ordonné suivant les puissances décroissantes de la lettre x. (« -f- h)x* est ce qu'on appelle le terme en x* et [a -f-é) le coefficient de ce terme, par une extension des mots terme et coefficient. De même, («* — 2ab -(- 6*)a-a est le terme en a?* et (a8 — 2ab-\-b*) son coefficient, (a* — b*)x est le terme en x, et enfin ( — a* + **) est le terme de degré zéro en ar ou ce qu'on appelle le terme constant (puisqu'il ne contient pas la variable x). Pour simplifier récriture et pour éviter que le polynôme tienne plus d'une ligne, on écrit souvent le polynôme, coefficient d'une puissance de la lettre ordonnatrice, en écrivant ses termes les uns au-dessous des autres. On borde le coefficient, ainsi écrit, d'un trait vertical à droite, à côté duquel on écrit la puissance de la lettre ordonnatrice. Ainsi, on écrira le polynôme précédent comme il suit :

Soit à ordonner le polynôme en y,

y& — tt3yî j aiy zab*y* + 3a*6y* + a5 + ay4 — 6* — 6y4 + a*y* + &V + 2<%3 + 6V + &y — 5a36* + 5a*63.

Ce polynôme s'écrit, en l'ordonnant suivant les puissances décroissantes de ?/,

If* + (a — &V -h («2 + 2a6 + 6*)y3 — (a3 — 3«*6 + 3«6S — ft3)y* 4- (** + 6*)y + (a8 — 5«36» + oa*6' — 66),

ar4 + a

— îab + A1

ou, encore,

Soit à ordonner, suivant les puissances croissantes de z, le polynôme, en s:

pzz — q*z* + 4pgz* — 5z4 + 3p4 — 6p3z + lp*z* — qz*

+ 4pg3 — 3p2gz — 8g4 + ga2.

Il s'écrit :

3p4 + 4pç3 — V + (— Cp3 - 3p*g + 73)s + (7p* + 4p<jr — 7»)*»

ou, encore,

On dit qu'un polynôme est entier, par rapport â une certaine lettre, lorsqu'il ne contient pas cette lettre en dénominateur. Tout polynôme entier, par rapport à x ou entier en x, peut être ordonné par rapport à la lettre a\ Les coefficients des diverses puissances de x ne sont pas, nécessairement, entiers par rapport aux autres lettres. Ainsi, le polynôme :

est un polynôme entier eux.

Le degré d'un polynôme entier en x est l'exposant de la plus haute puissance de x qui y figure.

On dit qu'un polynôme ordonné est complet lorsqu'il contient la lettre ordonnatrice à tous les degrés à partir du degré le plus élevé (y compris le degré zéro).

Les polynômes en or,

a?4 — 5*3 + te* 4- 3* + I, a?3 + Zax* + 3aaa? + a3

sont complets. — Au contraire, les polynômes

»* + lt a?8 — 5a;* + ôa? — 3,

sont incomplets (En particulier, dans le dernier, le terme qui manque est le terme constant de degré zéro).

Un polynôme complet, entier en x, de degré m (c'est-à-dire où la plus haute puissance de x est xm) a (m + 1) termes. Car il a des

termes en xm, a?m" , xm~ , ... a?2, x, ce qui fait m termes, plus le terme constant, soit (m 4- 1) termes.

13. Réduire et ordonner, par rapport aux puissances décroissantes de x7 les polynômes suivants :

** t- x9 -f x* — ix* + bx -f Sx* — 2 -f 2x ;

ax* -f da*xl — hax* -f ar* -f ax* -f «sx* — 3a*x% + «* ;

a-4^4 — ar»y» -}- 9x*y* — x*y* + ar'y* — y* -f 2xey* .

14. Réduire et ordonner, par rapport aux puissances croissantes de a, les polynômes suivants :

a* - 3a*b — 6* — a*b + 26* — a»6* -f 2a4* + Aa*b ;

«• + 1 — 2« + 5 — 3a + a» ; a*A -f a»c — 2a*6* — 2a«ôc — a*c* — 2a*6c — aV ; a* + 2ab + A1 + fl« + 2ac + c* + ûJ4-2flrf+dl .