CHAPITRE V
MULTIPLICATION DES MONOMES ET POLYNOMES
38. Pour faire le produit de deux monômes, il suffit (n° 15, Th. V) de multiplier, successivement, l'un des monômes par tous les facteurs qui composent l'autre. D'ailleurs, comme on peut intervertir l'ordre des facteurs (n° 15, Th . ///), on peut prendre les facteurs des deux monômes dans un ordre quelconque. Donc, le produit de deux monômes est le monôme obtenu en faisant le produit des facteurs de ces deux monômes dans un ordre quelconque.
Le produit de deux monômes entiers est un monôme entier ayant
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pour coefficient le produit des coefficients des deux monômes et pour partie littérale le produit de puissances des lettres qui figurent dans ces monômes, chaque lettre étant affectée d'un exposant égal à la somme des exposants qu'elle a dans les deux monômes.
(Lorsqu'une lettre ne figureras dans un monôme, il faut la considérer comme y figurant à l'exposant zéro).
Soit à faire le produit des deux monômes entiers
Ax*y*z et 3xyi*.
Ce produit est :
Aa?y*z 3xyt*,
ou, en intervertissant Tordre des facteurs de façon à amener les facteurs numériques en avant et à réunir les puissances des mêmes lettres,
4x3. x*xy*yzt*,
et, en remplaçant des produits par ces produits effectués (n* 15, Th. IV),
ilati/zt*.
Au fond, nous n'avons fait que les transformations nécessaires pour amener le monôme à sa forme habituelle (Voir n° 32).
Exemples :
(* <Mc\ X (lo ac*d) = ~ a*6e3e/; (* «W) X (20&*»/2)=4akz;V.
Théorème. — Le degré du produit de deux monômes entiers est la somme des degrés de ces deux monômes.
Car le degré du produit est la somme des exposants des lettres qui y figurent. Or, ces lettres sont toutes les lettres figurant dans les deux facteurs; donc, la somme des exposants se compose, d'une part, de la somme des exposants des lettres qui figurent dans le premier facteur, ce qui est son degré, et, d'autre part, de la somme des exposants des lettres du second facteur, qui est aussi son degré. Le degré du produit est donc la somme des degrés des facteurs.
Le degré de - a*bc est o; le degré de V6ac%d est 4; le degré du pro-
duit ^ tfbchl est 9 = o + 4.
39. Pour faire le produit d'un polynôme par un monôme, d'après la règle pour faire le produit d'une somme algébrique par un nombre (n° 20, Th. I), on fait la somme des produits obtenus en multipliant, successivement, chacun des termes du polynôme par le monôme. Ce produit est donc un polynôme.
Le produit d'un polynôme entier par un monôme entier est un polynôme entier. Car, comme le produit de deux monômes entiers est un monôme entier, ce produit est une somme algébrique de monômes entiers et, par suite, un polynôme entier.
Exemples :
(a?3 — 3aa?* + 3afa? + a3) X ax* es «a?8 — 3a*x* + 3a3a?3 + a*x*; (a*ô — 5a*6* + 6a*63) X 4«^3 = 4a«6* — 20as6* + 24a*66.
40. Pour faire le produit de deux polynômes, il suffît d'appliquer la règle par laquelle on obtient le produit de deux sommes algébriques (n° 20, Th. //) et, par suite, on obtient le produit de deux polynômes en faisant la somme algébrique de tous les produits obtenus en multipliant, de toutes les façons possibles, un terme de F un des polynômes par un terme de Vautre.
Pratiquement, pour ne pas faire d'oubli, on multiplie, successivement, l'un des polynômes {multiplicande) par tous les termes du second polynôme (multiplicateur) et on fait la somme des produits partiels ainsi obtenus. On dispose, alors, en général, l'opération de la façon suivante : on ordonne les deux polynômes, dans le même sens, par rapport à la même lettre. On écrit le multiplicateur audessous du multiplicande et on multiplie, successivement, le multipli- .cande par tous les termes du multiplicateur. On écrit les produits partiels, ainsi obtenus, les uns au-dessous des autres de façon à disposer leur addition, comme il a été dit au n° 36, et on effectue cette addition.
Le multiplicande étant ordonné, les produits partiels seront tous ordonnés.
Exemple I. — Soit à faire le produit des deux polynômes
4a? — a?1 + 2a?3 — 3 et a?» + 15 — *. Disposition de l'opération :
Multiplicande 2a?3 — a?2 +- 4« — 3
Multiplicateur X1 — X + \ H
fparx* 2x5— -a?*4- 4.Î?' — 3a?1
Produit* partiels j par — z. . . . — 2a?* + a?3 — 4aî* + 3a?
ff«r + i5... + 30a?3 — J5.r* + 60a? — 45
Produit 2a?5 — 3a?4 + 33a?3 — 22a?s + 63a? — 45
MULTIPLICATION DES MONOMES ET POLYNOMES.
Exemple IL — Soit à faire le produit des deux polynômes
a* __ 4a3fc + 6a*6* 4^53 + 5* et rti + 2ab + h*
Disposition de l'opération :
Multiplicande a* — 4a36 + 6a2o2 — 4a&3 + 6*
Multiplicateur a2 -f 2fl6 + 62
T ^r îa6- • • + 2a*6 — 8a>6î + 42a363 — 8a'6* + 2ab*
partte" ( ^arM + a*62 — 4a363 + 6a2fe* — 4a65 4- b'
Produit a6 — 2a56 — a*62 + 4a368 — a26* — 2aô5 4- 66
Exemple III.
Voici l'opération du produit de deux polynômes dans lesquels les coefficients de la lettre ordonnatrice sont eux-mêmes des polynômes :
Multiplicande " — b
Multiplicateur j> , *
a2 ax2. ' — ab
la:* + a* — a&3
bxK ; — 62
