rt5 — 2a*6 4-a

X3 — a3 |Jî4 + a30

Produit total J — 3a63

r**«tï. j 4 a6*

Algèbre élémentaire. 7

Dans chaque tranche horizontale de produits partiels se trouve le produit du multiplicande par un terme du multiplicateur. Ensuite, pour effectue J'addilion de ces six produits partiels, on a fait, dans chaque colonne verticale, l'addition, c'est-à-dire la réduction des polynômes coefficients qui ont été ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de la lettre a.

41. Théorème I. — 1a produit de deux polynômes entiers homogènes est un polynôme entier homogène dont le degré d'homogénéité est égal à la somme des degrés d'homogénéité des deux facteurs.

Soient A et B deux polynômes entiers homogènes de degrés p et q. Cela veut dire que les monômes qui composent A sont tous de degré p, et que tous les monômes qui composent B sont de degré q. Un terme quelconque du produit, étant le produit d'un terme de A par un terme de B, est le produit d'un monôme de degré p par un monôme de degré q, c'est donc un monôme de degré p -f- q (Th. du n°38). Tous les termes du produit étant de degré p -f- q, le produit est homogène et de degrés + q.

Dans Y Exemple II (n° 40), le multiplicande est homogène et de degré 4 ; le multiplicateur est aussi homogène et de degré 2. Le produit est homogène et de degré 4 + 2 = 6.

Théorème II. — Le terme de degré le plus élevé, par rapport à la lettre ordonnatrice, dans un produit de deux polynômes entiers réduits, s'obtient, sans réduction, en faisant le produit des termes des deux facteurs qui sont de degré le plus élevé, par rapport à la lettre ordonnatrice.

De môme, le terme de degré le moins élevé du produit s'obtient en faisant le produit des deux termes de degré le moins élevé, des deux facteurs.

Considérons deux polynômes entiers ordonnés par rapport à

la lettre x. Soit kxm un terme du multiplicande et Ba^ un terme du multiplicateur. (A et B sont ou des nombres ou des expressions contenant des lettres autres que la lettre x). Le produit

As" X Bx? = ABar* + p

est un terme du produit de degré a -(- p. Or, a est au plus égal au degré p du multiplicande et p est au plus égal au degré q du multiplicateur, le degré a + P d'un terme du produit est donc au plus égal à p + q et il n'aura sa plus grande valeur p + q que dans le seul cas où a = p et p = q, c'est-à-dire dans le seul cas où les exposants a et p ont leur plus grande valeur. Le terme de degré

MULTIPLICATION DES MONOMES ET POLYNOMES. 9tf

le plus élevé du produit s'obtient donc, sans réduction avec aucun autre, en faisant le produit des termes de degré le plus élevé des deux facteurs.

On verrait, de même, que l'exposant a + P n'atteint sa plus petite valeur que dans le seul cas où a et p ont, chacun, leur plus petite valeur. On obtient donc le terme de plus faible degré du produit en faisant le produit des deux termes de plus faible degré des deux facteurs, et ce terme ne se réduit avec aucun autre.

Dans VExemple I (n° 40), le terme 2x* de degré le plus élevé dans le produit provient de la multiplication des deux termes 2a?3 elx* de degré le plus élevé dans les deux facteurs; et le terme de plus bas degré (degré zéro) — 45 est le produit de — 3 par + 15. Dans VExemple III, le terme de degré le plus élevé (a* — 68)x-5 est le produit des deux termes (a — 6)#3 et (a -f b\x* de degré le plus élevé des deux facteurs; et le terme de degré le moins élevé («7 — 3a*6 — 4a56* + i2a*63 + a36* — 3a*65) est égal au produit de (a4 — 4a26* -f- 64) par (a3 — 3a*6).

Corollaire I. — Un produit de deux polynômes entiers a toujours au moins deux termes, et, par suite, ne saurait être un monôme. Car il y a, comme nous venons de le voir, deux termes qui ne se réduisent avec aucun autre ; ce sont, le terme obtenu en faisant le produit des termes de degré le plus élevé des deux facteurs et le terme obtenu en faisant le produit des termes de degré le moins élevé.

Remarque. — Il peut, d'ailleurs, arriver que le produit se réduise à ces deux termes dont l'existence est certaine. Ainsi, on a :

Corollaire II. — I^e degré [par rapport à la lettre ordoiftwirice) du j/roduit de deux polynômes entiers est la somme des degrés de ces deux polynômes.

Car, comme nous venons de le voir, si kx* et Bar9 sont les deux termes de degré le plus élevé des deux polynômes, le terme de

degré le plus élevé du produit est ABx''4"*. Les deux polynômes étant donc, par rapport à la lettre x, respectivement, de degrés p et q, le produit est de degré p + q (!).

(I) Nous rappelons q«w l* degré d'un polynôme, entier en x, est l'exposant de la plus haute puissance de x qui y figure.

42. Application I. — Carré d'une somme. — Le carré d'une somme (ou d'un polynôme) est égal à la somme des carrés de ses fermes augmentée de la somme des doubles produits de tous ses termes pris deux à deux de toutes les façons possibles.

1° Cas du binôme. Dans le cas où la somme a deux ou trois termes, il est facile de vérifier la proposition. On a, en effet,

a* + ab

+ ab + b* «* + 2 ab + b*.

2° Cas général. Pour faire le carré (a + b -\- c -\- d)2 d'une somme quelconque il faut faire le produit

Les termes de ce produit développé sont de deux sortes. Ceux qu'on obtient en prenant dans chacun des facteurs la même lettre, ce qui donne les carrés a*, ô2, etc., de ces lettres; ceux qu'on obtient en prenant dans chacun des facteurs une lettre différente, ce qui donne des produits de la forme ab, bc, etc. Mais chacun de ces produits peut être obtenu deux fois ; ainsi le produit ab peut être obtenu en prenant a dans le premier facteur et b dans le second ou en prenant b dans le premier et a dans le second. Le carré se compose de la somme des carrés a2 -\- b1 -f- ... augmenté des doubles produits 2 ai -{-2bc -{- ....

Remarque. — Pratiquement, pour former le carré d'une somme ou d'un polynôme, on peut procéder de la façon suivante : on écrit, d'abord, la somme des carrés de tous les termes ; on fait les doubles produits du premier terme par tous ceux qui sont à sa droite; puis les doubles produits du second terme par ceux qui sont à sa droite, et ainsi de suite ; enfin, on arrive k écrire le douile produit de l'avanldernier terme par le dernier.

Lorsque le polynôme est ordonné, il y a souvent avantage à écrire d'abord le carré du premier terme, puis immédiatement la somme des doubles produits de ce terme par les suivants; on écrit, ensuite, le carré du second terme et la somme des doubles produits de ce second terme par les suivants, et ainsi de suite. On écrit, en dernier lieu, le carré du dernier terme. Le carré se trouve, de cette façon, en général, ordonné.

MULTIPLICATION DES MONOMES ET POLYNOMES. 101

Corollaire. — Le carré (Tune différence est égal à la somme des carrés des deux parties diminuée du double produit de ces deux parties.

En effet, la différence a — b peut être considérée comme la somme de a et de — b, par suite,

(fl 4)î = a« + 2fl (— b) + (— bf = a* — cLab + bK

Exemples :

(x + y — z)2 - x* + y* + z* + 2xy — 2xz — 2yz;

(a + 6)4 = [(a + 6)*]2 *=» (a* 4- 2a6 + 6*)* = a4 + 4a*6 + 2a*6* - h 4fl!6" + 4a6» -f- 6* == a* + 4a36 + Ôas6* + 4«6» + 6*.

En remplaçant 6 par — 6, on en conclut :

(a — 6)* — «* — 4a3fc 4- 6(1*6* — 4a6» -f- 6*.

En élevant encore une fois au carré, on a :

[a + bf = (a* 4- 4a36 4- 6a*&* 4- 4aft3 + &4)*

- a8 4- 16a66* 4- 36«*64 4- 16a*66 4- 68 ... Somme des carré»

4- 8a76 4- 12a6 6* 4- 8a5 63 4- 2a4o4 . . f /«•>«* par te* «turanfe ^ »

+ 48a*63 4- 32a464 4- 8aa65 2« terme par les suivants ( | .-S

-f- 48«*68 4~ 12«268 3' f«rm« par les suivants i J "|

-p 8«6 7 4e terme par le dernier K

s a* 4- 8a76 4- 28a66* 4- 5Ô«563 4- 70<c464 4- 56<«3&5 f 28«*66 4- Sab1 + 68

Application IL — Produit d'une somme de deux nombres par leur différence. — Le produit d'une somme-de deux nombres par leur différence est égal à la différence des carrés de ces deux nombres.

Car on a :

a + b a — b a1 -f- ab — ab — b%

Donc, {a + b)[a — b) = a* — b*.

Remarque. — Celte proposition sert surtout à transformer une différence de carrés en produit. Ainsi, on a :

tx + y\* /* — y\* /* + y + * — ?A f* + y — *+y\ __ WJ

Exemple :

Soit à transformer le produit

Le produit des deux premiers facteurs est :

[b + c)* — «2 et celui des deux derniers :

Donc, P i- ■ [(6 -f c)2 — a»] [a2 — (6 — c)*]

Application III. — Identité de Lagrange. — L'identité de

Lagrange est la suivante :

(fli -j b1) (a2 + p2) — («a + ép)8 = («8 — 6x)2.

Pour vérifier une identité, il suffit de prouver que les deux membres sont des expressions équivalentes et, pour cela, que Ton peut passer de Tune à l'autre par des transformations permises ou, encore, qu'elles sont équivalentes ix une même expression. Dans le cas présent, on a :

(a1 + 62) (a2 + p1) = aV + a2p2 + 6V + 62p2, (aa + bpy =3 <,v + ^p* + 2a«4p.

Donc :

(„■ + 6») (a2 -f p2) (aa + ôp)2 == a*P + 6V — 2<i**£

et le second membre est précisément le développement du carré de (crp — 6a).

On a, de même, Y Identité de Lagrange plus générale suivante :

(«■ + 62 + c2) (a» + P8 + Y1) - («* + ty + cr)« h (*p - 6*)' + (aY - ca)2 + (6Y - cp)2

que Ton vérifie en développant les deux membres qui sont tous deux équivalents à l'expression

«2p2 + 6V + ay + cV + by -f c*pf — 2«*ap — 2ac*.y — 2icpy.

MULTIPLICATION DES MONOMES ET POLYNOMES. 103

Dans cette identité figurent deux groupes, de trois lettres chacun, a, 6, c et a, 8, y. On aurait une identité analogue avec deux groupes, de quatre lettres chacun, a, 6, c, d et a, p, y, S. Plus généralement, avec deux groupes ayant, chacun, le même nombre de lettres (Voir l'exercice 18).

EXERCICES