CHAPITRE VI
DIVISION DES MONOMES ET POLYNOMES
43. Pour faire le quolient d'un monôme par un monôme, il suffit d'indiquer l'opération en écrivant le diviseur au-dessous du dividende et en les séparant par un trait horizontal. Cette opération n'introduisant ni le signe (+) ni le signe ( — ), il en résulte que le quotient de deux monômes est un monôme.
Le quotient de deux monômes entiers n'est pas, en général, un
monôme entier] mais si les deux monômes contiennent des lettres
communes, on pourra simplifier la fraction obtenue en divisant les
deux termes par les lettres communes.
Ainsi, le quotient de ka}bc* par - ab*d est : — — jjj , fraction qui
o £* ao ci
peut se simplifier et s'écrire :
hd
en divisant les deux termes par 2a6 (n° 18, Th. /).
11 peut arriver, en particulier, qu'après la simplification, il n'y ait plus aucune lettre en dénominateur. Dans ce cas, le quotient est un monôme entier.
4fl8éV1 4
Ainsi' 35Ç--V,*,e-
11 est d'ailleurs facile de voir que la condition nécessaire et suffisante pour que le quotient de deux monômes entiers soit équivalent à un monôme entier, est que le dividende contienne toutes les lettres qui figurent dans le diviseur, chacune d'elles étant affectée d'un exposant au moins égal à celui quelle a dans le diviseur (').
44. Pour diviser un polynôme par un monôme, il suffit de diviser chacun des termes du polynôme par ce monôme, puisque (n° 20, Cor. du Th. 1) pour diviser une somme algébrique par un nombre il suffit de diviser chacun des termes par ce nombre. Il en résulte que le quotient d'un polynôme par un monôme est un polynôme.
Le quotient d'un polynôme entier par un monôme entier n'est pas, en général, un polynôme entier, car chacun des termes du quotient ne sera pas, en général, un monôme entier. Ainsi :
4ar* — îax* + Sa'x* + fl^4x! 2 3 1 a?
Cependant, dans certains cas particuliers, ce quotient pourra être un polynôme entier. On a, par exemple,
- a*x* — Sfl-V + 2a*x
45. Le quotient de deux polynômes est une expression algébrique fractionnaire qu'on obtient en indiquant la division de ces deux polynômes.
Le quotient de deux polynômes entiers est, dans le cas le plus général, une expression fractionnaire ; mais, dans certains cas particuliers, il peut arriver que cette expression soit équivalente à un
(I) Cette proposition est tout à fait analogue à celle qui donne en arithmétique la condition nécessaire et suffisante pour que deux nombres, décomposés en leurs facteurs premiers, soient divisibles l'un par l'autre (Voir, dans Y Arithmétique de M. Tannery, le n* 164).
DIVISION DES MONOMES ET POLYNOMES. 107
certain polynôme entier. Des exemples de ce cas particulier sont faciles à construire. En effet, si on fait le produit de deux polynômes entiers, ce produit sera équivalent à un polynôme entier dont le quotient par l'un des facteurs est évidemment équivalent à l'autre facteur. On a :
(ar2 + ax -f- tf2) [x — n) == :r* — /i3,
on en conclut que
= x* -f- ax 4- tr.
Définition. — Lorsque le quotient de deux polynômes entiers est équivalent à un polynôme entier, c'est-à-dire lorsqu'il existe un polynôme entier, appelé Quotient, dont le produit par le polynôme Diviseur, effectué par la règle du n° 40, est éyal, termes à termes, au polynôme Dividende, on dit que la division du polynôme dividende par le polynôme diviseur est possible, ou encore que le polynôme dividende est divisible par le polynôme diviseur. La recherche du polynôme quotient est ce qu'on appelle V opération de la division.
Opération de la division. — La recherche du quotient de deux polynômes, lorsque la division est possible, repose sur les deux propositions suivantes :
1° Ijts polynômes dividende, diviseur et quotient étant ordonnés dans le même sens, par l'apport à la même lettre, on obtient le premier terme du quotient en divisant le premier terme du dividende par le premier ternie du diviseur.
Supposons, en effet, les trois polynômes ordonnés suivant les puissances décroissantes de la lettre ordonnatrice. Le dividende étant égal, termes à termes, au produit du diviseur par le quotient, le terme de degré le plus élevé, c'est-à-dire le premier terme du dividende est égal (n° 41, Th. //) au produit du termç de degré le plus élevé du diviseur par le terme de degré le plus élevé du quotient. Par suite, le premier terme du quotient est égal au quotient du premier terme du dividende par le premier terme du diviseur.
Il en serait de même si les trois polynômes étaient ordonnés suivant les puissances croissantes. Car, dans ce cas, les premiers termes des polynômes seraient les termes de plus faible degré, et le terme de plus faible degré du dividende serait aussi égal au produit du terme de plus faible degré du quotient par le terme de plus faible degré du diviseur.
2° Lorsqu'on connaît un certain nombre des premiers termes du quotient f si on retranche du dividende le produit du diviseur par le
polynôme formé par les termes connus, on obtient un polynôme qu^on appelle Reste partiel. Le terme suivant du quotient s'obtient en divisant le premier terme de ce Reste partiel [supposé ordonné dans le même sens que le diviseur) par le premier terme du diviseur.
Soient, en effet, A le polynôme dividende, B le polynôme diviseur et Q le polynôme quotient. On a, par définition,
A = BQ.
Supposons qu'on connaisse un certain nombre des premiers termes du quotient et soit Q' le polynôme formé par ces termes. Désignons par Q" le polynôme formé par les termes restants du quotient. On aura, évidemment,
et, par suite,
ce qui s'écrit
A = BQ' + BQ",
ou encore :
A - BQ' e= BQ".
A, B et Q' étant des polynômes entiers, A — BQ est aussi un polynôme entier que nous nommons reste partiel. La deuxième identité nous prouve que le polynôme Q" est le quotient de ce reste partiel par le diviseur B. Or, le premier terme de Q" est précisément le terme du quotient Q qui suit les termes connus et, d'après ce qui précède, le premier terme de Q" s'obtient en divisant le premier terme du reste par le premier terme du diviseur. Par suite, le terme suivant du quotient s'obtient en divisant le premier terme du reste partiel par le premier terme du diviseur.
Remarque. — Nous appellerons premier reste partiel le reste obtenu en retranchant du dividende le produit du diviseur par le premier terme du quotient; deuxième reste partiel l'excès du dividende sur le produit du diviseur par la somme des deux premiers termes du quotient. D'une manière générale, le #èmc reste partiel est l'excès du dividende sur le produit du diviseur par la somme des À* premiers termes du quotient. Il est aisé de voir que les restes partiels se déduisent facilement les uns des autres. Supposons, en effet, qu'on ait formé le k^mc reste : pour obtenir le (k + l)ièmc reste, il faut, par définition, retrancher du dividende le produit du diviseur par le polynôme formé par les (A + l) premiers termes du
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quotient. Or, ce produit est la somme du produit du diviseur par la somme des k premiers termes et du produit du diviseur par le (£+ l)1*™* terme du quotient. Comme, pour retrancher une somme il suffit de retrancher successivement chacune des parties (n° 10, Th. IV), pour obtenir le (k-\- l)u,,nc reste, on pourra retrancher du dividende d'abord le produit du diviseur par la somme des k premiers termes du quotient (ce qui donne le Àièt,,c reste), puis, de ce résultat, le produit du diviseur par le (k + l)itmc terme du quotient. Ceci revient donc à dire que Von obtient le (k -f- l),èmc reste en retranchant du ÀJ*mc reste le produit du diviseur par le (k -(- l)1*»»10 terme du quotient.
Des deux propositions précédentes et de cette remarque résuite immédiatement la règle suivante pour former le quotient de deux polynômes, lorsque la division est possible :
Règle. — Lorsque la division de deux polynômes entiers est possible, on obtient le quotient de ces deux polynômes de la façon suivante :
On ordonne les deux polynômes, dans le même sens, par rapport à la même lettre. Le premier terme du quotient est le quotient du premier terme du dividende jmr le premier terme du diviseur. On retranche du dividende le produit du diviseur par le premier terme et on obtient le j/remier reste partiel. Le second terme du quotient s'obtient en divisant le premier terme du nremier reste partiel par le premier terme du diviseur. On retranche du premier reste le produit du diviseur par le second terme du quotient, ce qui donne le second reste partiel. Le troisième terme du quotient s'obtient en divisant le premier terme du second reste par le premier terme du diviseur. On forme le troisième reste partiel en retranchant du second reste le produit du diviseur par le troisième terme, et ainsi de suite. Le produit du dernier terme du quotient par le diviseur reproduit, exactement, le dernier reste partiel.
Remarque I. — On peut a priori connaître le dernier terme du quotient : c'est, évidemment, le quotient du dernier terme du dividende par le dernier terme du diviseur.
Remarque II. — Le degré du quotient est l'excès du degré du dividende sur le degré du diviseur. Car si m,p et q sont, respectivement, les degrés du dividende, du diviseur et du quotient, comme le dividende est égal au produit du diviseur par le quotient, son degré est la somme des degrés du diviseur et du quotient (n° 41, Cor. II). Donc
m = p -f q, d'où q = m — p.
46. Disposition de l'opération. — Pratiquement, on dispose l'opération de la division de la façon suivante : après avoir ordonné les deux polynômes dans le même sens, on écrit le polynôme diviseur à la droite du dividende. On calcule le premier terme du quotient, qu'on écrit au-dessous du diviseur, et on fait le produit du diviseur par ce premier terme. D'après la règle on doit retrancher ce produit du dividende. Pour cela, on dispose l'opération comme une soustraction ordinaire, c'est-à-dire qu'on ajoute au dividende ce polynôme changé de signe (n° 37). On écrit donc, successivement, tous les termes du produit du diviseur par le premier terme du quotient, à mesure qu'on les calcule, au-dessous du dividende, en ayant soin de changer, au préalable, le signe de chaque terme. On tire un trait et on effectue l'addition. On obtient ainsi le premier reste partiel. On opère avec celui-ci comme avec le dividende. On calcule le second terme du quotient, on écrit les produits, changés de signe, des termes du diviseur par le second terme du quotient au-dessous de ce reste partiel; on fait l'addition, on a le second reste partiel, et ainsi de suite.
Remarque. — Étant donnés deux polynômes quelconques A et B on ne sait pas, a priori, si la division est possible. Pour cela on ressaie, c'est-à-dire qu'on commence l'opération comme si elle était possible.
On calcule, d'autre part, le dernier teyne du quotient (Hem. /, précéd.) et, si la division est possible, lorsqu'on sera amené à écrire au quotient un terme de même degré que celui-ci, ce terme devra être identique à ce dernier terme calculé d'avance et l'opération devra s'arrêter là.
Exemple I. — Soit à diviser le polynôme
2x* — 45* + x* — i4a3 -fH 34a?s
par 1 — 3x 4- &•
J'ordonne les deux polynômes suivant les puissances décroissantes de x :
Dividende .r*-f-2.r*— U.r'-h&U1— 4."xr-f7
Produit du diviseur par — x9 . . — x 5 -j-3i*— 7ar*
Premier reste partiel 5x* — 21x*+bix* — 45iT-|-7
Produit du diviseur par — 5.r* . — 5 x* -+- 15x* —35a?1 •
Second reste partiel — 6x*+ 19a?1— 45x-\-l
Produit du diviseur par + 6a\. + 6x*—18x*-\-42x
Troisième reste partiel .T1— 3x-{-l
Produit du diviseur par — 1 . . . — x*-{- 3x— 7
X* — 3x -\-l diviseur.
.T3-J-5X1— 6£-f * quotient.
DIVISION DES MONOMES ET POLYNOMES.
Pour simplifier l'écriture, on néglige de recopier, dans chacun des restes partiels, les termes du dividende qui ne se sont réduits avec aucun autre et, alors, la division précédente s'écrit sous la forme simplifiée :
x* + 2®* — 14a?3 + 5ta2 — 45.x? + 7 — a?5 + 3a?* — 7a?3
iplifiée
a.3 4. 5.Ts — fi* + {
Exemple II.
Soit à diviser
y a V --j^ + 3jT
rtsj/3 + 2«5
par
£ a*y — 5«j/2 + g Vz — 2«3.
J'ordonne les deux polynômes suivant les puissances croissantes de y et, comme dans le dividende il n'y a pas de terme en ,y*, j'ai soin de laisser un intervalle pour marquer la place de ce terme absent. On peut calculer d'avance quel devra être le dernier terme du quotient, si la division est possible, c'est :
^2yK
L'opération, avec la simplification d'écriture, est, alors :
2«5 — j a *y + -y a*y* — ahj* + 3y8
2«5 +ia*y - 5a3jy2 + |«y
, 40 . 20 , t , 100 t , fn . + y «4y — -g- a V + -3- « V - *0ay 4
— 4a3y2 + |ay— lOay*
+ 4a3y» — | a V + lOay* —3y»
— 2a8 + ia«y— 5(«y2+2y3
47. Généralisation. — Étant donnés deux polynômes quelconques, A et B, entiers en x, il n'existe pas, en général, un polynôme Q, entier en x, dont le produit par B, effectué suivant la règle du n° 40, soit égal, termes à termes, au polynôme A; mais, si on ordonne les deux polynômes A et B suivant les puissances décroissantes de x, on pourra toujours commencer l'opération de la division, comme si elle était possible, pourvu que le degré du polynôme B ne surpasse pas celui du polynôme A. En suivant, pas à pas, la règle énoncée pour calculer le quotient, on formera une suite de polynômes entiers qui sont les restes partiels et on calculera une suite de termes qui formeraient le quotient si la division était possible.
Il est, d'abord, aisé de se rendre compte que les degrés des restes successifs vont en diminuant. En effet, d'après la façon même dont il a été calculé, le premier terme du quotient hypothétique est tel que le premier terme de son produit par le diviseur est égal au premier terme du dividende. Lorsqu'on retranche ce produit du dividende, les termes du degré le plus élevé disparaissent et, par suite, le premier reste est de degré inférieur au degré du dividende. De même, le produit du second terme du quotient par le diviseur a^ d'après le calcul même de ce terme, son premier terme égal au premier terme du premier reste. Donc, lorsqu'on retranche ce produit du premier reste, pour former le second reste, les deux premiers termes se détruisent et le degré du second reste est, par suite, inférieur au degré du premier reste. Et, ainsi de suite. On voit que le degré de chaque reste est au moins inférieur d'une unité au degré du reste précédent.
Cela étant, pour qu'après avoir calculé un certain nombre de termes au quotient, on puisse continuer l'opération, il faut et il suffit que le premier terme du reste correspondant soit divisible par le premier terme du diviseur. Pour cela, il faut et il suffit que le degré du premier terme de ce reste, qui est son degré, ne soit pas inférieur au degré du premier terme du diviseur, c'est-à-dire au degré du diviseur. Or, comme les degrés des restes successifs vont en diminuait, si, au bout d'un certain nombre d'opérations, on n'arrive pas à un reste identiquement nul, auquel cas la division est possible, on parviendra, nécessairement, à un reste de degré inférieur au degré du diviseur et l'opération sera arrêtée.
D'ailleurs, comme chaque reste est, par définition, l'excès du dividende sur le produit du diviseur par le polynôme formé par les termes calculés au quotient, cela sera encore vrai pour le dernier reste et on en conclut la proposition suivante :
DIVISION DES MONOMES ET POLYNOMES. 113
Etant donnés deux polynômes quelconques A et B, entiers en x [le degré du polynôme A n'étant pas inférieur au degré du polynôme B), il existe un polynôme Q, entier en x, tel que la différence A — BQ soit un polynôme de degré inférieur à celui de B.
Le polynôme Q s'obtient en effectuant sur les deux polynômes AetB, ordonnés suivant les jouissances décroissantes de x, V opération de la division de A par B, comme si cette division était possible, jusqu'à ce quon parvienne à un reste de degré inférieur à celui du polynôme B.
Remarque. — Tout ce qui précède suppose, essentiellement, que les deux polynômes A et B sont ordonnés suivant les puissances décroissantes de x. Si on ordonnait, au contraire, les polynômes suivant les puissances croissantes et, si la division n'était pas possible, ou bien l'opération ne pourrait même pas être commencée (si le terme de plus bas degré du diviseur était de degré supérieur au terme de plus bas degré du dividende), ou bien elle pourrait se poursuivre indéfiniment, car les degrés des premiers termes des restes iraient sans cesse en augmentant.
Ainsi, par exemple, on ne peut même pas commencer la division du polynôme
par le polynôme 2a? — a?2 -\- 5ar8,
puisque le premier terme 1 du dividende n'est pas divisible par le premier terme 2a? du diviseur.
Au contraire, l'opération de la division du second polynôme par le premier se poursuivrait sans limite; cette opération est, en effet, la suivante :
— 2a? — 2a?2 — 2a?3 — 2ar4
\7 lArf • • • •
Définition. — Etant donnés deux polynômes entiers A et B, le degré de A n'étant pas inférieur au degré de B, on désigne sous le nom de partie entière du quotient de A par B un polynôme Q tel que la différence A — BQ, effectuée et réduite suivant les régies énoncées plus haut, soit un polynôme de degré inférieur à celui de B.
L'excès du dividende A sur le p)9oduit du diviseur B par la partie
Algèbre élémentaire. 8
entière du quotient Q est ce qu'on appelle le reste de la division de kparB.
L'existence du polynôme Q répondant à cette définition a été prouvée dans ce qui précède ; car on a montré que, si on ordonne les deux polynômes AetB par rapport aux puissances décroissantes, on obtient, en effectuant l'opération de la division de A par B jusqu'à ce qu'on parvienne à un reste de degré inférieur au degré de B, un polynôme Q satisfaisant à ces conditions. Cependant, pour que la définition précédente soit tout à fait légitime, il faut encore montrer qu'il n'y a qu'un seul polynôme Q qui y satisfait. Or, en reprenant, pas à pas, la théorie de la division on montrerait que tout polynômeQ, tel que A — BQ soit de degré inférieur au degré de B, a, nécessairement, pour termes ceux qu'on obtient en effectuant la division de A par B. Le polynôme obtenu par cette opération est donc le seul qui réponde à la définition.
Remarque I. — Q étant la partie entière du quotient du polynôme A par le polynôme B et R le reste de la division, on a, par définition,
A = BQ + R (1)
et degré de R < degré de B (2).
L'identité (1), jointe à l'inégalité (2), est ce qu'on appelle l'identité de la division. Il résulte de ce que nous avons dit qu'il n'y a quun seul couple de polynômes entiers Q et R vérifiant cette identité, ou, plus exactement, tels que, si on effectue le produit BQ par la règle du n° 40 et la somme BQ + R par la règle du n6 36, les deux membres de l'identité (1) soient égaux termes à termes.
Remarque II. — Pour abréger le langage, on donne souvent le nom de quotient à la partie entière du quotient de deux polynômes entiers, lorsque cette dénomination ne peut donner lieu à aucune ambiguïté.
Remarque III. — Lorsque la division est possible, c'est-à-dire lorsque le polynôme A est divisible par le polynôme B, la partie entière du quotient est égale à ce quotient lui-même et le reste de la division est identiquement nul, c'est-à-dire que tous ses termes sont nuls.
. Exemple I.
Soit à calculer le quotient et le reste de la division de
3a-4 — 5#* + 6a? + i par x* — 3a; -f- 4.
DIVISION DES MONOMES ET POLYNOMES.
L'opération est la suivante :
— lOa^-MOa? — 40
La partie entière du quotient est donc 3a;8 4- 9a? -f- 10 et le reste — 39 [qui, étant indépendant de a?, est de degré zéro]. On a donc l'identité :
3ar* - 5a?8 + Ôa? + 1 = (a?8 - 3a? + 4) (3a?2 + 9a? + 10) - 39.
Exemple II.
Soit à diviser
(a — 6),r* — 2(a8 — 68)a?3 + (2a3 — a86 + a68)a?8 — 2(a* + 6*)a? + a8 + 65 par a?8 — 2(a + 6)a? + a8 + 68.
Nous disposerons l'opération ainsi :
