aô

La partie entière du quotient est donc :

(a - 6)a?8 + a3 4- 63 et le reste :

2 (a36 + aà*)x — «3&2 — «*&3-

48. Théorème I. — Le reste de la division d'un polynôme, entier

lia ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.

en x, par x — a est égal au nombre que Von obtient en donnant, dans ce polynôme, à x, la valeur a.

Soit, en effet, P(x) un polynôme entier en x, ordonnons-le suivant les puissances décroissantes de x et divisons-le par x — a. La partie entière du quotient sera un certain polynôme, entier en x, Q(x),et le reste R, étant de degré inférieur au degré du diviseur (qui est du premier degré), sera de degré zéro, c'est-à-dire indépendant de x. On a donc, en écrivant l'identité de la division (n° 47, Rem. I),

Cette égalité, étant une identité, a lieu quelle que soit la valeur attribuée à x, en particulier si on donne à a? la valeur a. On a donc, en remplaçante para et remarquant que cette substitution ne change pas R qui est une constante,

P(<i) = Q(fl)(«— <!) + R

et, comme a — a = 0,

Ce qui montre que R est égal à la valeur numérique P(n) du polynôme P(ar), pour x = a.

Corollaire. — La condition nécessaire et suffisante pour qu'un polynôme, entier en x, soit divisible par x — a est que ce polynôme s'annule lorsqu'on donne à x la valeur a.

Car la condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme P(x), entier en #,.soit divisible par or — a est que le reste de la division soit identiquement nul (n°47, Rem. III). Or, ce reste étant P(/i'î, d'après ce qui précède, la condition est :

Exemples. — Le reste de la division du polynôme

ae5 — 3.ra + 2« — 4 par x — i est : 1 - 3 + 2 - 4 = - 4.

Le reste de la division de

x* — 3aa?s + Za*x — a3 par x — a est : a3 — 3a3 + 3a3 — a3 = 0.

Le polynôme proposé est donc divisible par x — a.

Remarque. — Le reste de la division d'un polynôme, entier en x, par x -f- a s'obtient en remplaçant, dans ce polynôme, x par — a. Car x + û peut s'écrire x — ( — a).

DIVISION DES MONOMES ET POLYNOMES. 117

Exemple. — Le reste de Ja division de

ar4 — 5ar3 — 2x* — 7 par x + i est : (— i)* — 5(— l)» — 2(— 1)* — 7 = 1 +5 — 2 — 7 = — 3.

Théorème II. — La condition nécessaire et suffisante pour qu'un polynôme, entier en x,soit divisible par leproduit(x — a)(x — b) (x — c), a, b, c étant trois nombres différents, est qu'il soit divisible séparément par x — a, x — b etx — c.

1° La condition est, évidemment, nécessaire : car si un polynôme, entier en a?, est divisible par le produit (x — a) (x — b) (x — c), il est équivalent à

Q{x) étant un polynôme entier; ce qui montre que ce polynôme est équivalent au produit de x — a par le polynôme (a? — b)(x — c)Q(x), c'est-à-dire divisible par x — a. De même pour x — b et x — c.

2* La condition est suffisante. Soit P(a?) un polynôme entier en x divisible séparément par x — a, x — b et x — c. Soit Q{x) le quotient de P(a?) par x — a. On a :

Dans cette identité, donnons à x la valeur 6; on aura :

Or, P(a?) étant divisible par x — 6, P (6) est nul ; par suite, on a

et, comme, 6 étant différent de a, b — a n'est pas nul, ceci entraîne

Le polynôme Q (x) s'annule pour x = 6, il est donc divisible par a: — 6. Soit Q'{x) le quotient de Q(x) par (x — b). On a :

et, par suite, en remplaçant Q (x) par (x—b) Q' (x) dans l'identité (1), on a

Dans cette nouvelle identité, donnons à x la valeur c ; on a :

Comme P (x) est divisible par a? — c, P(r) est nul, par suite,

et, comme c — a et c — b sont différents de zéro, ceci entraîne

Le polynôme Q'(x) est donc divisible para; — c et si on désigne par Q"(x) son quotient par x — c, qui est un polynôme entier, on a :

d'où, en remplaçant Q' (x) par (a? — c) Q" (#) dans l'identité (2), on a

On voit ainsi immédiatement que P {x) est égal au produit de (x — à) (x — b) (x — c) par un polynôme entier et, par suite, que P {x) est divisible par {x — a) (x — b){x — c).

Remarque. — Nous avons fait la démonstration du théorème précédent pour le cas de trois facteurs binômes x — a, x — 6, x — c. Il est clair que cette démonstration réussirait pour le cas d'un nombre quelconque de facteurs et on peut dire d'une façon générale que :

La condition nécessaire et suffisante pour qu'un polynôme , entier enx, soit divisible par le produit de plusieurs facteurs binômes différents

x — a, x — b, x — c, x — 1, est qu'il soit divisible séparément par

chacun de ces facteurs.

Corollaire. — Lorsqu'un polynôme entier en x, de degré m, s'annule "V pour m valeurs différentes a, b, c, ... 1 attribuées à x, il est équivalent au produit

du coefficient A de son terme de degré le jilus élevé par le produit des binômes x — a, x — b, x — c, ... x — 1.

Car le polynôme, étant divisible, séparément, par les binômes x — a,x — 6, x — c, ... x — /, est divisible par leur produit. Or, ce produit est un polynôme, entier en x, de degré m. Le quotient du polynôme proposé par ce produit est donc (n° 46, Rem. II) de degré m — m = 0. Le quotient est donc une constante A et le polynôme est équivalent au produit

D'ailleurs, le terme de degré le plus élevé de ce produit, et, par suite,

DIVISION DES MONOMES ET POLYNOMES. 119

du polynôme donné, est Axm. Donc A est le coefficient du terme de degré le plus élevé du polynôme.

Exemples. — i°. Le polynôme

œ* — 3a?» -f x* + 3a? — 2 s'annule pour a? = 1 et x = 2, il esl donc divisible parle produit :

(x — 1) (fc — 2) = j2 — 3tf + 2.

On a, en effet :

x* — 3x3 + a:* + 3or — 2 s (a?* — 3a; + 2) (x* — 1).

2° Le trinôme du second degré

s'anuule par x = - et x = 5, il est donc divisible par le produit

(x — |) (a— 5) et on a {Th. J/, CorolL) :

Théorème III. — Lorsqu'un polynôme entier réduit est équivalent à zéro, il est identiquement nul, c'est-à-dire que ses coefficients sont tous nuls.

Supposons, en effet, que le polynôme entier réduit P(ar) puisse être équivalent à zéro sans que tous ses coefficients soient nuls et soit Aa?m son terme de degré le plus élevé (A =£ 0). Soient m nombres différents a ,ô,c, ... /, d'ailleurs quelconques; puisque le polynôme est équivalent à zéro, il s'annule, en particulier, pour les m valeurs «, à, c ... / et, alors, d'après le corollaire précédent, on aurait

Pour toute valeur de x autre que a, b, c ... I le second membre ne serait pas nul et, par suite, P (x) aurait une valeur différente de zéro ; ce qui est contraire à l'hypothèse. P(a?) ne peut donc ôtre équivalent à zéro que si tous ses termes sont nuls séparément, c'est-à-dire que s'il est identiquement nul.

D'ailleurs, il est bien évident que cette condition, qui est nécessaire, est suffisante pour que P(a?) soit équivalent à zéro.

Remarque. — Puisqu'un polynôme entier ne peut être équivalent à zéro sans être identiquement nul, nous pouvons dorénavant confondre ces deux expressions.

Corollaire. — Deux polynômes entiers réduits équivalents sont identiques, c'est-à-dire qu'ils sont de même degré et égaux terme à terme.

Car la différence de deux polynômes entiers équivalents est un polynôme entier équivalent à zéro et, par suite, identiquement nul. Tout terme de la différence est la différence des termes de même degré des deux polynômes ; ce terme étant nul, les termes de même degré des deux polynômes sont égaux. Les deux polynômes sont donc égaux terme à terme, et tout terme qui manque dans l'un manque aussi dans l'autre.

Théorème IV. — Lorsqu'un polynôme, entier en x, de degré m, s'annule pour plus de m valeurs distinctes de x, il est équivalent à zéro et, par suite, identiquement nul. Soit P'#) un polynôme entier, de degré m, qui s'annule pour les (m -f- 1) valeurs différentes de x: a, h, c ...A-, /. Puisqu'il s'annule pour les m valeurs distinctes a, b, c, ... k, c'est qu'on a (Th. II, Coroll.) :

À étant une constante. Écrivons que le polynôme s'annule encore quand on donne à x la valeur Z. On aura :

Toutes les différences entre parenthèses sont, par hypothèse, différentes de zéro, il faut donc que Ton ait

On en conclut, immédiatement, que le second membre de l'identité (1) est nul quel que soit x, c'est-à-dire que P(a?) est équivalent k zéro. D'ailleurs (d'après le Th. III) ceci ne peut arriver que si P(x) est identiquement nul, c'est-à-dire si tous ses coefficients sont nuls.

Corollaire. — Lorsque deux polynômes entiers en x, de degré égal ou inférieur à m, prennent, respectivement, la même valeur numérique pour plus de m valeurs différentes de x, ils sont équivalents, par suite identiques. Car leur différence est un polynôme entier en x de degré au plus égal à m qui s'annule pour plus de m valeurs de x et qui, par suite, d'après le théorème précédent, est équivalent à zéro. Les deux polynômes sont donc équivalents et, par suite (Coroll. du Th. III), identiques.

DIVISION DES MONOMES ET POLYNOMES. 121

Applications. — 1° x — a est divisible par x — a. Car le reste de la division de xm — a1 par x — a est

wi m t\

2° x -|~ a nest pas divisible par x — a. Car le reste de la division de xm -f- a1 par x — a est

am + a = 2a * 0.

3° x — a est ou nest pas divisible par x -f- a, suivant que m est pair ou impair.

Car le reste de la division de xm — am par x -f- a est

(in m

Si m est pair, on a (— a)m ■— a* = am — am = 0-

Si m est impair, on a (— a)m — am = — am — am = — 2am ^ 0.

4° x -f- a est ou nest pas divisible par x -f- a» suivant que m est impair ou pair.

Car le reste de la division de xm -f- am par x -f- a est :

(\m ■ ira

Or, si m est impair, on a ( — a)m -f- «m = — flm -{- aw = 0, Si m est pair, on a (— a)m + am= an + am = 2am * 0.

Remarque. — Lorsque m est pair, xm — am est, à la fois, divisible para: — a et x + a, il est donc divisible par le produit