MI

B^2 — B^+aB,*

jp— a

En posant, dans le cours de l'opération :

/ R«. 4 == A4., ' m — i mi»

Bn,-î=Aro-i + rtBm-i,

BÏW 3 = Aw 2 + «Bm 2>

= A2 + «B2, Ai + «Blf » =A0 + «B0.

Or, les égalités (1) mettent précisément en évidence la loi de formation des coefficients du quotient. Le premier coefficient Bjh 1

est égal au premier cofficient Am du dividende. Le second coefficient

B a est égal au second coefficient Am t du dividende augmenté du

produit du premier coefficient du quotient par a. Le troisième coefficient du quotient B 3 est égal au troisième coefficient Am-2 du

dividende augmenté du produit du second coefficient Bm 2 du quotient par a, etc.. On tire de là, la règle suivante :

Règle. — Un polynôme entier en x, étant ordonné suivant les puissauces décroissantes de x et supposé complet, on obtient les coefficients de son quotient par x — a, également ordonné suivant les puissances décroissantes de x et supposé complet , de la façon suivante :

1° Le premier coefficient du quotient est égal au premier coefficient du dividende.

DIVISION DES MONOMES ET POLYNOMES. 1£)

2° Tout autre coefficient du quotient s'obtient en ajoutant au coefficient de même rang du dividende le produit du coefficient précédent du quotient par a ;

3* Le reste de la division s'obtient en ajoutant au dernier coefficient du dividende le produit du dernier coefficient du quotient par a.

Remarque. — Dans cette règle, on suppose le dividende et le quotient complets. Si l'un de ces polynômes n'était pas complet, il faudrait le considérer comme tel en regardant les termes manquants comme des termes ayant des coefficients nuls. Ainsi, par exemple, le polynôme

qui n'a ni terme en x3 ni terme en ar, devra s'écrire, pour appliquer la règle,

x' + O-ar3 — 3x2 + 0* + 5; on a, alors, pour les coefficients du quotient par x — 2 :

Coefficient de " X3 1 X 2 -f- 0 = 2,

Terme constant 1 X 2 -f" 0 = 2.

teste 2x2 + 5 = 9.

Le quotient est donc :

x* + 2x* + x + 2 et le reste 9.

Application I. — Calculer la valeur numérique d'un polynôme en x, lorsqu'on donne à x une certaine valeur.

D'après le Théorème 1 (n°48), la valeur numérique d'un polynôme pour la valeur a, attribuée à or, est le reste de la division de ce polynôme par x — a. Or, d après la loi de formation précédente du quotient et du reste par x — a , on déduit ce reste du dernier coefficient du quotient comme on déduit un coefficient quelconque du précédent On pourra donc calculer ce reste, c'est-à-dire la valeur numérique du polynôme pour ar = a, en calculant, successivement, tous les coefficients du quotient du polynôme par x — a et en déduisant le reste du dernier coefficient.

Par exemple, soit à calculer la valeur numérique du polynôme

2a?5 — l\x* — Sx* + 12* -f 3

124 ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.

pour x = 6. Les coefficients du quoticnl par x — 6 sont, en appliquant la règle précédente,

Le reste, c'est-à-dire la valeur numérique du polynôme pour x =■ 6, est donc:

Il est facile de se rendre compte que ce procédé donne lieu à des calculs pins simples que celui qui consiste à faire la substitution directe, c'est-àdire à effectuer les calculs :

Remarque. — Le procédé de calcul précédent revient, au fond, à écrire le polynôme de la façon suivante :

et à effectuer les calculs indiqués, après avoir remplacé x par 6.

Application II. — Quotient de xm ± am par x — a.

Le premier coefficient du dividende est 1 ; totis les coefficients suivants du dividende étant nuls, chaque coefficient du quotient, d'après la règle précédente, est égal au coefficient précédent multiplié par a. Le premier coefficient étant 1, les autres sont, alors,

Le quotient est donc

x + ax -{- a x +... + ft x + 0

Le reste est

le reste est, comme nous le savons déjà, nul pour x — a et égal à 2/?m pour xm-\-am. On a donc l'identité

•E A m— li m — 2 , S m — 3 , • m — 2 , m — I

= x +ax +ax +... + <? x + n

En particulier, si a = l.

Application III. — Quotient de xm ± am par x -(- a.

DIVISION DES MONOMES ET POLYNOMES. 125

x -f- a s'écrit x — ( — a). Ce cas se ramène au précédent où on remplace a par ( — a). Les coefficients du dividende étant tous nuls, sauf le premier et le dernier, tout coefficient du quotient, autre que le premier, est égal au précédent multiplié par ( — a).

La suite des coefficients du quotient est donc :

c'est-à-dire

1, — a, a% — rr, .... ( — a) ,( — a)

Le quotient est donc :

j: — «x + « x — ax +••• + ( — a) x ~r { — a) et le reste, comme nous le savons, est

Par exemple, on a :

x* — ax -f a2 ;

h= x3 — ax* 4- ax% — a3.

EXERCICES