Le produit

{xm-\){xm-i-l){Jr-*-l) (a*-^-- l)

est divisible par

(Voir VExercice 32).

34. Si un polynôme entier en #, dont les coefficients sont des nombres entiers, s'annule pour une valeur entière de x, x=p, la valeur numérique que prend le polynôme pour # = ?, q étant un entier quelconque, est un nombre entier multiple de 9— p. En conclure que si le polynôme prend des valeurs numériques impaires pour x = 0 et :r=rl, il ne peut s'annuler pour aucune valeur entière de x.

35. Montrer que la condition nécessaire et suffisante pour que la fraction

ax+ b a'x + V

DIVISION DES MONOMES ET POLYNOMES. 127

ait une valeur indépendante de x est que

De même, pour que la fraction

ax% + bx -f- c a'x* -f b'x -h d

ait la même valeur numérique quel que soit x, il faut et il suffit que

D'une manière générale, pour que le quotient

de deux polynômes, entiers en a-, ait la même valeur numérique, quel que soit .r, il faut et il suffit que les deux polynômes P'.r) et Q[x) soient de même degré et que les coefficients des mêmes puissances de x soient proportionnels.

36. Si dans un polynôme, entier en .r, on réunit, d'une part, tous les termes de degrés pairs, et d'autre part, tous les termes de degrés impairs, si, de plus, on met dans les termes de degrés impairs x en facteur, on mettra le polynôme sous la forme

P(je») -f xQ(x«)

P(*f) et Q[.r*) désignant des polynômes entiers en a?1.

Montrer que la condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme soit divisible par x1 -+• 1 est que Ton ait, à la fois,

A cet effet, on montrera, d'abord, que le reste de la division du polynôme, par j-* + 1, est

37. Étant donnés deux polynômes A et B, entiers en ar, ordonnés suivant les puissances croissantes de x, le premier terme de B éttfnt de degré au plus égal au degré du premier terme de A, on peut toujours commencer sur les deux polynômes A et B l'opération de la division de A par B (nM 45 et 46) comme si cette division était possible. Si la division n'est pas possible, l'opération pourra se continuer indéfiniment (n* 47, Bem.). Montrer, qu'étant donné un nombre entier a, on trouvera ainsi des polynômes entiers Q et R tels que l'on ait l'identité

AsBQ + x* + ,R,

Q étant un polynôme entier de degré au plus égal à a. a étant donné, cette égalité ne peut être satisfaite que par un seul couple de polynômes Q et R. Comme application, calculer Q et R dans les cas suivants :

Assl, B=stf-fl, « = 4;

-Assl, Bs^-âajJ + l, a = 4;

Assl + ar», B = l — x, a = 6.

128 ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.