CHAPITRE VII

SO. Fractions rationnelles. — Une expression fractionnaire rationnelle est, comme nous l'avons dit (n° 29), une expression qui ne contient pas de lettres sous des radicaux et qui contient des lettres en dénominateur.

Nous appellerons fraction rationnelle le quotient de deux polynômes entiers. C'est la forme la plus simple que puisse affecter une expression fractionnaire rationnelle, puisqu'il n'y a que l'indication d'une seule division.

Nous allons montrer que toute expression fractionnaire rationnelle est équivalente à une certaine fraction rationnelle.

Rappelons, d'abord, que toutes les transformations de calcul indiquées dans le chapitre i, n'altérant pas la valeur numérique d'une expression, transforment une expression en une autre expression équivalente. Par exemple, on peut multiplier ou diviser les deux termes d'une fraction par une même quantité non nulle, faire la somme de plusieurs fractions de même dénominateur, etc..

1° Considérons d'abord une expression fractionnaire qui est la somme algébrique de plusieurs fractions rationnelles ou polynômes entiers.

On pourra réduire toutes ces fractions au même dénominateur en multipliant, par exemple, les deux termes de chacune d'elles par le produit des dénominateurs des autres. Il suffira, ensuite, de faire la somme des numérateurs pour obtenir une fraction rationnelle équivalente à, l'expression proposée. Ainsi, l'expression :

a» y flt+aw + y

ab a*—2ab + b* ^ ^

peut s'écrire sous la forme équivalente :

(a*— b>){a*—2ab+b*) (a*+ Wb* + 64) ab («*+*') {a*—2ab+b*)ab ab{a>— 2ab+b*) ab{ai—2ab-\-bi) + ab(a'— 2ab+b*)

et, par suite,

(a*— y) (g»— 2ab+b*) — (a'+HaW+b^ab + (fl*+68) {a*—2ab+b*)ab

ab{a*— Ub + b*)

qui est bien une fraction rationnelle. En développant les calculs indiqués, et réduisant les termes semblables, la fraction s'écrit :

a« — 2a*b — aW — 3aW + 2a65 — A6

a*b — 2a*6* + ab*

Remarque. — Il arrive souvent que, pour réduire des fractions au même dénominateur, Ton peut trouver un dénominateur plus simple que le produit de tous les dénominateurs. Soit, par exemple, l'expression

il est clair que le produit (x — a) (x — b) (x — c) est un dénominateur commun. Cette expression est alors équivalente à l'expression

ou

a?8 — (a + b -f- c)x* -\- [bc -f- ca + ab)x — abc

2° Le produit ou le quotient de deux fractions rationnelles est encore une fraction rationnelle; car le produit de deux fractions est une fraction ayant pour numérateur le produit des numérateurs et pour dénominateur le produit des dénominateurs. Les deux termes du produit de deux fractions rationnelles sont donc des polynômes entiers, puisque ce sont des produits de polynômes entiers. De même, le quotient de deux fractions rationnelles est aussi une fraction rationnelle, puisque c'est le produit de la fraction dividende par l'inverse de la fraction diviseur. Par exemple, on a :

x* + a% (# + «)* x -\- a (x -J- af

3° Toute expression fractionnaire rationnelle résulte de la combinaison, par voie d'addition, de soustraction, de multiplication ou de division, de polynômes ou de fractions rationnelles. Or, d'après ce qui précède, chacune de ces opérations, effectuée sur des fractions rationnelles, donne pour résultat une fraction rationnelle; il en

ÂLOÈBIUC éLÉMKKTAIRB. 9

130 ALGEBRE ELEMENTAIRE.

résulte que, finalement, l'expression proposée est équivalente h une fraction rationnelle.

Exemple I

2aa? —

2ax —

(2aa? —

On peut remarquer que les deux termes de la dernière fraction sont divisibles par x* — a8; en effectuant cette division, ce qui est permis, elle prend une forme plus simple et on a :

Exemple 11.

H — = r — rz ô r

(a?—i;[5(a?8— 5a?)-f 3a?(a?— 7)(2a? + 1)] +(oa?— 6)(4a?— 3)(a?-7)(2ar+l) "" (4a? — 3) (a? — 7) (2a? + I ) (a? — i)

46a?» — 378a?a -f 391a?8 + 85a? — 126 " 8a?* — 66xa 4- 69a?8 + 10a? — 21 '

51. Fractions irrationnelles. — On ne peut pas donner de règle générale pour simplifier une expression fractionnaire irrationnelle. En général, lorsqu'on a une expression irrationnelle, on cherche, autant que possible, à faire disparaître les radicaux en dénominateur. Il y a un certain nombre de cas simples où cette opération est facile.

1° S'il n'y a qu'un radical carré en dénominateur, il suffît de multiplier les deux termes de la fraction par ce radical. Ainsi,

ifr» + l — 4(\j*+1 — 4) y'j* + x+l vV + ar + i ~~ x'1 +x+ l

2# Les deux quantités A + B et A — B sont dites conjuguées. D'une manière générale, on appelle quantités conjuguées deux quantités qui sont Tune la somme, l'autre la différence de deux certaines expressions. Le produit de deux quantités conjuguées est une différence de carrés; car (n° 42, App. II) on a :

Lorsque le dénominateur d'une expression irrationnelle est de la

forme A±^Bou \jk ± v/B, il suffit de multiplier les deux termes de la fraction par la quantité conjuguée du dénominateur pour rendre ce dénominateur rationnel. Ainsi,

g^ = C(A-y'B), A + VB A8— B '

G C(v'A + vB)

VA— XB A — B

Exemples :

L M^ + i+»Myg+7-»-«

Vx» + 1 — X (x2 + 1) — JC«

Vx + i + v/ar— 1 {x'x — i + Vx+0 x+i+x— i + 2\/x + i\lx— i

\lx — i—\,'x + i~ (x + i)— (x — 1) 2

en remarquant, d'après le calcul des radicaux (*), que

\x + i yjx — i ^ Vf* + *) (•* — *) = \/x% — *• — b + V 6* — 4ac (— 6)* — (62 — 4ac) 2a

(I) Le calcul des radicaux a été traité en arithmétique et on y a appris que, par exemple,

fVoir Tannery, loc. cit., n" 113 à 449. Ces numéros sont, d'ailleurs, reproduits dans l'Appendice Ï1I de ce volume.]