Forme — . — Dans tout ce qui précède, nous avons supposé

essentiellement que, dans toute expression fractionnaire, on n'attribuait aux lettres que des valeurs numériques telles que les dénominateurs ne soient pas nuls. Nous avons vu, en effet (n* 16, Remarque finale), qu'on ne pouvait pas définir le quotient d'un nombre par zéro. Cependant, considérons une expression fractionnaire et donnons aux lettres qui y figurent des valeurs telles que le dénominateur, sans être nul, ait une valeur absolue très petite. Il est facile de se rendre compte que, si le numérateur ne s'annule pas en même temps que le dénominateur, la fraction aura une valeur numérique très

grande. Soit — la fraction (A et B désignant des expressions algé-

briques). Puisque le dénominateur B s'annule pour certaines valeurs des lettres qui y figurent, il arrivera, en général, qu'on pourra prendre des valeurs de ces lettres assez voisines de ces valeurs particulières pour que la valeur absolue de B soit aussi petite qu'on le voudra. D'ailleurs, puisque le numérateur À ne s'annule pas, il restera supérieur, en valeur absolue, à un certain nombre positif N. Donc, pour des valeurs, convenablement choisies des lettres, on aura :

| A| >N et

G étant un nombre positif donné, d'ailleurs aussi grand qu'on le voudra. Pour ces valeurs des lettres on aura donc :

Ceci nous prouve que la valeur absolue de la fraction pourra dépasser tel nombre G que l'on voudra, si grand qu'il soit.

Lorsque la valeur absolue (Tune quantité variable peut dépasser n'importe quel nombre positif donné, on dit que cette quantité croît sans limite ou croît indéfiniment (i).

Ce qui précède nous montre donc, qu'en général, lorsque le dénominateur d'une fraction s'annule pour certaines valeurs particulières attribuées aux lettres, sans que le numérateur soit nul, la fraction croit

(1) Voir, pour plus de précision, plus loin, le n* 100.

indéfiniment quand les valeurs numériques des lettres se rapprochent de ces valeurs particulières (*).

(Test pour exprimer plus brièvement ce fait qu'on dit souvent qu'une fraction, dont le numérateur n'est pas nul et dont le dénominateur est nul, a une valeur infiniment grande.

11 faut bien se garder d'attribuer à ce langage un autre sens que celui que nous venons de préciser. Il n'y a pas de nombre infiniment grand ; car il n'y a pas de nombre plus grand que tous les autres (n° 12, Th. /); une fraction ne peut donc pas avoir une valeur infiniment grande, au sens propre du mot.

Considérons, par exemple, Ja fraction

qui a un sens pour toutes les valeurs de x sauf pour la valeur x = 3. Soit G nn nombre positif donné; pour qu'on ait

il suffit que Ton ait

Il suffit donc qu'on donne à x une valeur qui diffère de 3, en valeur

absolue, de moins de ^ pour que la valeur absolue de la fraction soit plus

grande que G. Lorsque la valeur numérique de a? se rapproche de la valeur

3, la valeur absolue de la fraction - croît sans limite. Ce n'est que ce

Tait qu'on exprime, brièvement, en disant que, pour x = 3, la fraction a

une valeur infiniment grande ou encore est infinie.