Forme —. — Nous avons vu (n° 16) que, lorsqu'on cherche

à calculer le quotient de zéro par zéro, on est conduit à considérer ce quotient comme indéterminé ; car le produit de tout nombre par zéro est égal à zéro. Il est donc naturel de dire que, lorsque les deux termes d'une fraction prennent la valeur zéro pour des valeurs particulières des lettres, la valeur de cette fraction est indéterminée. Pour

(I) Nous nous contentons, ici, d'expliquer ce qui se passe, en gros ; nons reviendrons sur ce sujet avec toute la précision et les détails désirables quand nous traiteront de» limite» ttiv. IV, cbap. i).

rappeler le fait que les deux termes de la fraction s'annulent, on dit qu'il y a une indétermination de la forme -•

Lorsque ce cas se présente, il arrive souvent qu'on peut trouver une seconde fraction équivalente à la fraction donnée, pour toutes les valeurs des lettres pour lesquelles celle-ci a une valeur bien déterminée, et telle que, pour les valeurs particulières pour lesquelles les deux termes de la fraction donnée sont nuls, ses deux termes ne soient pas nuls tous les deux.

Deux cas peuvent alors se présenter :

1° Le dénominateur de la seconde fraction n'est pas nul pour les valeurs particulières des lettres ; cette seconde fraction a une valeur bien déterminée et c'est cette valeur que, par définition, on appelle la valeur ou, encore, la vraie valeur de la fraction donnée pour les valeurs particulières des lettres (!).

2° Le dénominateur de la seconde fraction s'annule; on peut alors dire (en attachant à cette expression le sens que nous lui avons donné) que la seconde fraction a une valeur infiniment grande et nous exprimerons ce fait en disant aussi que la fraction donnée est infiniment grande pour les valeurs particulières des lettres.

On a, par exemple :

ac* — \ (Jî-i)(*+l)^* + l

pour toutes les valeurs de a? autres que 1 et 2. Ponrx== i, les deux termes

de la dernière fraction ne sont pas nuls et cette fraction a la valeur — 2;

donc, par définition, la vraie valeur de la fraclion -j — -p-^, pour

x = t, est — 2.

Lever V indétermination, c'est trouver la vraie valeur de la fraclion. Il y a des cas où il est facile de lever l'indétermination.

1° Si la fraclion donnée est une fraction rationnelle, on pourra toujours lever l'indétermination. En effet, si, pour quelque valeur a d'une certaine lettre x, les deux termes de la fraction prennent la valeur zéro, comme ces deux termes sont des polynômes entiers, ils sont tous deux divisibles par (x — a) (n° 48, Th. I, Cor.) et on peut simplifier la fraction en divisant les deux termes par (x — a). Si la nouvelle fraction obtenue est encore

(I) Gotto notion de la vraie valeur sera précisée plus loin (Voir n* 1 10).

indéterminée pour x = a, on pourra encore la simplifier de la même façon et, ainsi de suite ; on finira par arriver à une fraction dont les deux termes ne s'annuleront plus, à la fois, pour x = a, et qui, pour toutes les autres valeurs de #, sera équivalente à la fraction donnée.

Exemple. — Les deux termes de la fraction

s'annulent pour x = i, on peut donc diviser les deux termes par x — i et on obtient la fraction équivalente :

x2 — 2a? + i ai* — 3a? + 2"

Les deux termes de cette nouvelle fraction s'annulent aussi pour a? = i, on peut donc aussi la simplifier et elle est équivalente à

Cette dernière fractiou prend, pour x = i, la valeur zéro; par suite, la vraie valeur de la fraction donnée est z&i'o, pour a? = i.

2° Lorsque la fraction est irrationnelle, on ne peut pas donner de règle générale pour lever l'indétermination ; mais il arrive souvent qu'on peut la lever en rendant le dénominateur rationnel ou par un procédé analogue.

Exemple I. — Considérons la fraction

yjx — i — 2 '

qui est indéterminée pour a? = 5. Multiplions les deux termes par ia quantité conjuguée du dénominateur; et nous obtenons