CHAPITRE PREMIER
54. Définitions. — On appelle équation une égalité dont les deux membres ne sont égaux que pour des valeurs particulières attribuées à certaines lettres appelées inconnues. Ces valeurs particulières qu'il faut donner aux inconnues sont ce qu'on appelle les solutions ou encore les racines. Ainsi
5ar— 3 = * + 13
est une équation^ car les deux membres ne sont pas équivalents. Pour x = 4, les deux membres prennent la même valeur numérique; 4 est donc une solution de cette équation.
Le membre écrit à. gauche du signe = est ce qu'on appelle ordinairement le premier membre et l'autre est le second membre.
Résoudre une équation c'est trouver ses racines.
Si x = a est une solution d'une équation, on dit que cette équation est sai is faite pour x =a ou, encore, que a vérifie celte équation.
Une équation peut contenir une ou plusieurs inconnues.
Une équation est dite irrationnelle, rationnelle, entière ou fractionnairey suivant que ses deux membres sont des expressions irrationnelles, rationnelles, entières ou fractionnaires par rapport aux inconnues. Ainsi
est une équation irrationnelle ;
a<a,-b'3s-2bX=c
est une équation rationnelle entière, car Y inconnue x ne figure ni sous des radicaux ni en dénominateur. 11 résulte de cette définition que, dans une équation entière, les deux membres sont des polynômes entiers par rapport aux inconnues.
On dit que deux équations sont équivalentes lorsqu'elles admettent les mêmes solutions, c'est-à-dire lorsque toutes les solutions de Tune vérifient l'autre, et réciproquement.
Il y a des équations dont les solutions sont évidentes. Ainsi, l'équation
n'admet évidemment que la seule solution 5. Le problème général de la résolution d'une équation consiste à trouver une équation équivalente dont les solutions sont évidentes. Cette recherche est facilitée par les principes suivants.
55. Théorème. — Lorsqu'on ajoute ou qu'on retranche une même quantité aux deux membres d'une équation, on forme une équation équivalente.
Soit, en effet,
une équation; A et B désignant deux expressions contenant une ou plusieurs inconnues. Ajoutons aux deux membres une même quantité C, nous aurons l'équation
Si, pour certaines valeurs des inconnues, A et B prennent des valeurs numériques égales, il est clair que, pour les mêmes valeurs, A -{- C et B + C prendront des valeurs égales. Donc, toute solution de l'équation (1) vérifie l'équation (2).
Réciproquement, toute solution de l'équation (2) vérifie l'équation (4); car si, pour certaines valeurs des inconnues, A -f- C et B + C ont des valeurs égales, pour ces mêmes valeurs, A et B auront des valeurs égales : puisqu'on obtient leurs valeurs en retranchant des valeurs égales de A + C et B + C le même nombre, à savoir, la valeur de C.
Le théorème est encore vrai lorsqu'on retranche une même quantité aux deux membres, car retrancher une quantité c'est ajouter la quantité égale et de signe contraire.
Corollaire. — Toute équation peut être mise sous la forme
Car, en retranchant aux deux membres d'une équation une quantité égale à son second membre, on obtient une équation équivalente dont le second membre est zéro (*).
Application. — Faire passer un terme d'une équation d'un membre dans Vautre.
Si on retranche aux deux membres d'une équation entière un terme qui figure dans un des deux membres, ce terme disparaîtra dans le membre où il se trouvait, et il y aura dans l'autre membre un terme égal et de signe contraire à celui-ci.
Soit, par exemple, l'équation
2*-3+| = 4-ir + |;
ajoutons x aux deux membres, et nous aurons l'équation équivalente
On obtient donc une équation équivalente à une équation donnée, en effarant un terme dans l'un des membres et en écrivant ce terme, changé de signe, dans l'autre membre. C'est ce qu'on appelle faire passer ce terme d'un membre dans l'autre.
Définition. — Il résulte du Corollaire précédent que toute équation entière peut être mise sous la forme
où À désigne un polynôme entier par rapport aux inconnues. Le degré de ce polynôme entier réduit, par rapport aux inconnues, est ce qu'on appelle le degré de l'équation. Ainsi l'équation
x* __ sx + G = 0
est du second degré. L'équation, à deux inconnues x et y,
A8 axhj xy -f- a3.r — b$y = 0
est du troisième degré.
(I) C'est un mathématicien anglais, Tkomat Harriot (1568-1621) qui, le premier, proposa d'écrire toutes les équations entières sous la forme A = 0. Ce fait est très important, car il a permis de définir le degré d'une équation entière et, en mettant le premier membre A sous la
forme
A = (x-«)(x-ft) (x — c)....,
il a fait prévoir le théorème de Dalembert, d'après lequel toute équation, de degré m, a m racines.
112 ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.
56. Théorème. — Lorsqu'on multiplie ou qu'on divise les deux membres d'une équation par une même quantité qui n'est ni nulle ni susceptible de devenir nulle ou infiniment grande ('-), on obtient une équation équivalente.
Soit l'équation
Multiplions les deux membres par le facteur C qui, par hypothèse, n'est ni nul ni infiniment grand, nous obtenons 1 équation
Pour démontrer que les équations (1) et (2) sont équivalentes, mettons-les sous les formes équivalentes :
et
Toute solution de (T), rendant A — B nul, rend aussi le produit C( A — B) nul, puisque le second facteur de ce produit est nul et que le premier n'est pas infiniment grand (J). Donc toute solution de (Y) vérifie l'équation (2).
Réciproquement, toute solution de (2') annule le produit C(A — B) et, comme G a une valeur différente de zéro, il faut que A — B soit nul. Donc toute solution de (2') vérifie l'équation (1').
Il est évident que la proposition est encore vraie dans le cas de
la division, car diviser par C c'est multiplier par - et, si C n'est ni
nul ni infiniment grand, - n'est ni infiniment grand ni nul.
(1) Je rappelle (n° 52) qu'une quantité infiniment grande est une quantité dont le dénominateur est nul, le numérateur étant différent de zéro.
(2) Nous appliquons ici le théorème qui dit que, lorsque l'un des facteurs d'un produit est nul, ce produit est nul. Mais ce théorème suppose que tous les facteurs sont des nombres bien déterminés. Lorsque l'un des facteurs est infiniment grand le théorème peut tomber en défaut. Considérons, par exemple, le produit
Pour x= 1,1e premier facteur s'annule, mais le produit n'est cependant pas nul et a la valeur S ; cela tient à ce que,. pour x = 1, le second facteur est infiniment grand. Au fond, le
lx J\ txt L {\
produit est une fraction ■ qui, pourx = 1, est indéterminée (n* 53) et dont
la vraie valeur est 2.
Remarque. — Pour qu'on puisse appliquer le théorème précédent, avec sécurité, il faut absolument que C ne puisse être ni nul ni infiniment grand.
Si, pour certaines valeurs des inconnues, C pouvait devenir nul, l'équation (2) admettrait bien toutes les solutions de l'équation (I), mais la réciproque pourrait être en défaut et, pour certaines valeurs des inconnues annulant C, l'équation (2) pourrait être satisfaite sans que l'équation (1) le soit. Par exemple, multiplions les deux membres de l'équation
par x — 2; la nouvelle équation
admet bien la solution x = 5 de l'équation proposée, mais elle admet, en outre, la solution x = 2 qui ne vériGe pas l'équation proposée.
Au contraire, si, pour certaines valeurs des inconnues, G était infiniment grand, toutes les solutions de l'équation (2) vérifieraient bien l'équation (1), mais il pourrait arriver que l'équation (2) n'admette pas certaines solutions de l'équation (1) pour lesquelles C est infiniment grand. Ainsi, multiplions les deux membres de Féquation
par j ; la nouvelle équation
n'admet pas la solution x = 1 de 1 équation proposée.
On voit donc, qu'en multipliant les deux membres d'une équation par une quantité qui peut devenir nulle ou infiniment grande, on peut ou introduire des solutions étrangères qui sont des valeurs des inconnues annulant le multiplicateur ou supprimer certaines solutions qui sont des valeurs des inconnues rendant le multiplicateur infiniment grand.
Cependant, si aucune des solutions de l'équation (2) n'annule C et si aucune des solutions de (1) ne rend C infiniment grand, le raisonnement du théorème précédent subsiste, et les équations (1) et
(2) sont équivalentes. Ainsi,
= 4 et 3 = 4(ar — 2)
sont deux équations équivalentes.
Application I. — Lorsque, dans une équation entière, les coefficients sont des fractions, on peut rendre ces coefficients entiers en multipliant les deux membres de V équation par le dénominateur commun de ces fractions. Considérons, par exemple, l'équation
multiplions les deux membres par 12 et nous aurons l'équation équivalente :
Application II. — Lorsqu'on multiplie les deux membres d'une équation rationnelle fractionnaire par le dénominateur commun des deux membres, on obtient, en général, une équation entière équivalente.
En effet, nous pouvons toujours supposer (n° 55) que le second membre de cette équation soit zéro. Le premier membre, étant une expression fractionnaire rationnelle, peut être mis sous forme de fraction rationnelle (n° 50) et l'équation a la forme
où A et B désignent des polynômes entiers par rapport aux inconnues. Il est clair que, s'il n'existe aucunes valeurs des inconnues
annulant à la fois A et B, il faut et il suffit, pour que — soit nul, que
A soit nul. L'équation (1) est alors équivalente à l'équation entière
S'il existait des valeurs des inconnues annulant à la fois A et B, ces valeurs vérifieraient l'équation (2) et pourraient ne pas vérifier
l'équation (1) ; car, pour ces valeurs, la fraction — serait indéterminée
et sa vraie valeur pourrait ne pas être zéro.
Trouver l'équation entière (2) équivalente à l'équation donnée (1),
c'est ce qu'on appelle rendre V équation (1) entière.
57. Théorème. — Lorsqu'on élève les deux membres d'une équation au carré, on obtient une nouvelle équation qui admet toutes les solutions de l'équation proposée, mais qui, en général, ne lui est pas équivalente»
Soit l'équation
Il est évident que toute solution de cette équation vérifie l'équation
car, si les expressions A et B ont des valeurs numériques égales, leurs carrés ont aussi des valeurs égales. Mais, réciproquement, on ne peut pas affirmer que toute solution de l'équation (2) est une solution de l'équation (1). En effet, l'équation (2) peut être mise sous la forme équivalente
A» — B* = 0 ou, encore, (A — B) (A + B) = 0 (3).
Pour que l'équation (3) soit satisfaite, il faut et il suffit que l'un des deux facteurs A — B ou A -f- B soit nul. Si c'est A — B, l'équation (l) est satisfaite; mais, si c'est A + B, l'équation (1) n'est pas, en général, satisfaite et c'est l'équation
qui est vérifiée.
Donc, lorsqu'on élève les deux membres d'une équation au carré, on obtient une nouvelle équation qui admet, non seulement les racines de V équation proposée, mais encore les racines de V équation qu'on déduit de celle-ci en changeant le signe de l'un des deux membres,
Soit, par exemple, l'équation
Élevons les deux membres au carré; nous obtenons l'équation
qui s'écrit (x — a) (a + *'— #) = 0
et qui admet, manifestement, les deux racines
x = a et a? = a + 1.
La première, x = a, vérifie l'équation proposée; mais la seconde, x = a + 1, ne la vérifie pas et vérifie l'équation :
a — x = — ya? — a.
Algèbre élkmkntairk. iO
Remarque. — On peut observer que les deux équations, dont l'ensemble est équivalent à l'équation obtenue par l'élévatien au carré, reproduisent, lorsqu'on les multiplie membre à membre (en supposant les seconds membres réduits à zéro), l'équation finale.
Car ces deux équations sont :
qui, multipliées membre à membre, donnent
Plus généralement, lorsque, pour rendre une équation entière, on fait plusieurs élévations au carré successives, l'équation finale est équivalente à Yensemble de plusieurs équations dont le produit, membres à membres (en supposant les seconds membres réduits à zéro), reproduit l'équation finale.
Ainsi, l'équation
peut être rendue entière de la façon suivante : on l'écrit
— t/Â = Vb + i/c;
une première élévation au carré donne :
A = B + C + 2v/BC ; on écrit cette nouvelle équation :
2v'BC = A — B — G et une nouvelle élévation au carré donne :
4BC = A2 + B2 + C2 — 2AB — 2AC + 2BC. L'équation finale est donc :
