AB OB

D'ailleurs, - et a étant toujours de même signe, on a bien

ij = ax.

3° Supposons, A, B et C différents de zéro, La relation (1) peut être mise sous la forme équivalente

ou, en posant, pour abréger,

y = ax -f- 0.

Construisons le point B, de Taxe ojy, (#7. 13) qui a pour ordonnée h

et, d'autre part, la droite OA dont les coordonnées vérifient la relation

y = ax.

Pour construire le point M, dont l'abcisse est x et dont l'ordonnée, y, est donnée par la formule (3), prenons, sur ox,

OP = x. Soit P« la perpendiculaire en P, à ox, sur laquelle nous prendrons un sens positif parallèle à celui de oy; le point M est tel que

Kig. 13.

PM — . ax.+ b.

Soit M' le point où Pz rencontre OA, on a

PM' = ax,

d'où (77/. de Chastes) :

MM = PM- PM' r- b = OB.

Ceci nous prouve que, les deux segments MM et OB' étant parallèles et de même sens, la figure BOM'M est un parallélogramme. Le point M est donc sur la parallèle BB' à OA, menée par le point B.

Réciproquement, les coordonnées x et y de tout point M de BB'

NOTIONS l»E GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

vérifient la relation (3), car, si M' est le point d'intersection de la perpendiculaire MP, à ox, avec OA, on a (n° 23) ;

y = PM = PM' + MM = ax + b.

69. Soit f{x) une fonction de la variable x. Désignons par y la valeur de la fonction qui correspond à la valeur x de la variable. L'égalité

fait correspondre, en général, à chaque valeur de x une valeur pour?/ ^en tous cas un nombre limité de valeurs de y). Ceci revient à dire que, si on considère dans un plan deux axes rectangulaires oxetoy, il existe, sur toute parallèle P- (fig. 14) à oy, d'abcisse x= OP, un point M dont l'ordonnée y est égale à f(x). Lorsqu'on fait varier x de — oo à + oo, le point P décrit tout Taxe ox, de xT vers x, et le point M, de Pz* décrit un lieu géométrique, une courbe C.

Cette courbe C est ce qu'on appelle la cou rbe représen tative de la variation de la fonction. Réciproquement, on dit que la relation

est V équation de la courbe C.

D'une manière générale, si tous les points d'une courbe C sont tels que leurs coordonnées vérifient une certaine relation et si, réciproquement, tous les points dont les coordonnées vérifient cette relation sont situés sur cette courbe, on dit que cette relation est Y équation de la courbe.

Ainsi, il résulte du théorème que nous avons démontré dans le paragraphe précédent que :

Toute équation du premier degré

kx + Bi/ + C = 0 représente une droite.

JC,

Fig. U.

D'ailleurs, réciproquement, toute droite est représentée par une équation du premier degré.

En effet :

1° Si la droite est parallèle à un des axes, oy par exemple (fig. llj,

tous les points M de cette y s droite ont même abeisse

OK = k. L'équation

représente donc cette droite.

2° Si la droite passe par l'origine des coordonnées 0 (fig. 12), soit À le point de cette droite d'abeisse 1 ; désignons par a son ordonnée :

y = ax

est l'équation de la droite OA (n° 68). 3° Si la droite rencontre les axes ox et oy en deux points

distincts A et B (fig. 15), soit a J'abcisse ÔA de A

et b l'ordonnée OB de B.

L'équation

Kio. 15.

M (jc.y)

Fig. JC.

représente , comme nous lavons yu (n° 68), une droite.

Or, puisque cette équation est vérifiée pour

celle droite passe par les points A et B. C'est donc la droite AB. Comme second exemple, voici VéqualionaVun cercle :

(x - a? + (y - bf .- - R*.

NOTIONS DE C.KOMÉTRIK ANALYTIQUE. 173

En effet, l'expression

est le carré de la distance du point C, de coordonnées a et b (fig. 16'}, au point M, de coordonnées x et \j.

La relation précédente exprime donc que la distance CM, d'un point quelconque M dont les coordonnées la vérifient, au point C, est égale à R; c'est-à-dire que le point M est sur le cercle décrit du point C comme centre avec R pour rayon.

D'ailleurs, réciproquement, les coordonnées x et »/ d'un point quelconque M du cercle vérifient cette relation.

La représentation graphique de la variation d'une fonction par une courbe donne une image de la variation de la fonction qui permet de suivre facilement le sens de celte variation.

Prenons, sur Taxe ox {fig. 14), ÔP = x. Lorsque x varie de -— oo à + oo, le point P décrit tout l'axe xx de gauche à droite. Si la fonction croit, sa valeur numérique augmente en même temps que a\ l'ordonnée PM du point représentatif M augmente ef le point M s'élève, la courbe monte. Lorsque la fonction décroît, l'ordonnée PM diminue, le point M s'abaisse et la courbe descend. Donc la courbe monte ou descend (de gauche à droite) suivant que la fonction croît ou décroît. Ainsi, dans la figure 14, lorsque le point P va de P' en P, la courbe monte ; donc la fonction croît, quand x croît de la valeur x' = OP' à x = OP. Au contraire, de P en P", la courbe descend ; donc la fonction décroît, quand x croit de la valeur x = ÔP à la valeur x" = OP".

Dans maintes circonstances, cette représentation graphique peut 61 re utile. En voici un exemple :

Dans certaines maladies il est très utile, pour le médecin, de connaître la variation de la température du corps du malade. La manière dont cette température varie est souvent un renseignement utile pour l'étude de la marche de la maladie. Or, la température du malade est une fonction du temps et on représente graphiquement cette fonction du temps. On emploie, pour cela, (fig. 17) un papier quadrillé sur lequel on trace deux axes ox, oy (le quadrillage ne sert qu'à marquer plus facilement les points). Supposons qu'on ait observé le malade du 5 au 17 janvier. Prenons comme unité de temps le jour et portons les jours en abcisses sur ox. Portons en ordonuées les excès de température au-dessus de 34° centigrades. Si le 5 janvier la température du malade est 36% 7 nous marquons un point sur oy entre 36 et 37 environ aux 7 dixièmes. Le 6 janvier la température est 37*, nous marquons le point situé à l'intersection de la verticale 6 et de l'horizontale 37 ; et ainsi de suite. Chaque jour on note la température du malade par un point. En joignant tous les points par un trait continu, on a la

courbe de la maladie. Uue simple inspection de celle courbe montre, de suite, la marche de la maladie. On voit que la température s'est d'abord