CHAPITRE V
72. Une seule équation à deux inconnues ne détermine pas, en général, les valeurs de ces inconnues. Par exemple, si on considère l'équation du premier degré à deux inconnues
ax + by + c = 0 (1),
cette équation est vérifiée par une infinité de systèmes de valeurs des inconnues x et y, car, si on donne à y une valeur quelconque y', on aura, pour déterminer x, une équation du premier degré qui donnera une valeur x', pour x. Nous avons vu, d'ailleurs, que tous
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les points, dont les coordonnées x et y vérifient l'équation (1), sont sur une ligne droite.
Au contraire, étant données deux équations k deux inconnues il y a, en général, un seul ou un nombre fini de systèmes de valeurs des inconnues vérifiant les deux équations.
D'une manière générale, étant donné un système de plusieurs équations simultanées à plusieurs inconnues x, y, *, ...., on appelle solution de ce système un système de valeurs x', y', z\ ..., des inconnues, pour lesquelles les équations sont toutes vérifiées. Deux systèmes d'équations sont dits équivalents lorsqu'ils admettent les mêmes solutions ; c'est-à-dire lorsque tout système de solutions de l'un vérifie l'autre, et réciproquement.
En général, un système de n équations du premier degré à n inconnues admet une solution et une seule, comme nous le montrerons plus loin.
73. Nous établirons, d'abord, deux propositions préliminaires sur les systèmes d'équations.
Théorème I. — k étant un nombre différent de zéro et h m» nombre quelconque, le système des deux équations
est équivalent au système
ftA'+*B = 0, A = 0 (2\
Tout système de solutions du système (1), ar.nulant A et B, annule évidemment AA et kh et, par suite, vérifie le système (2). Réciproquement, toute solution du système (2), annulant A et AA + *B, annule kB et, comme k est différent de zéro, annule B; par suite, vérifie le système (1).
Généralisation. — Plus généralement, étant donné un système de p -f- <I équations, on obtient un système équivalent en remplaçant chacune des q dernières équations par celle que Von obtient en multipliant ses deux membres par un nombre différent de zéro et en lui ajoutant les p premières multipliées, respectivement, par des facteurs quelconques.
Ainsi, le système
A = 0, B = 0, C = 0 est équivalent au système
A = 0, AA + £B = 0, mA+pC = 0, pourvu que k et p soient différents de zéro.
De même, le système
A=0, B = 0, C = 0, D = 0, E = 0 est équivalent au système
A = 0, B = 0, \ m A + pB + kC = 0, m'A + //B + A'D = 0, wi"A + p"B + k"E = 0,
A:, À*', h" étant trois nombres différents de zéro.
La démonstration est la même que pour le cas de deux équations.
Théorème II. — p, q, p', q[ étant quatre nombres tels que pq' — qp' soit différent de zéro, le système des deux équations
est équivalent au système
pk + r/B = 0, p'k + ?'B = 0 (2).
Toute solution du système (1), annulant A et B, annule pk + qB et p'k -f- q'B et, par suite, vérifie le système (2). Réciproquement, des identités
&V - ffl* = ç'fpA + qB)-q (//A + q'B), {pqf - qp)B ^p (7/A+ q'B)-p'{pk + qB),
on conclut que toute solution du système (2), annulant pk + ?B et p'A-f-^'B, annule (pq* — qp')k et pq') — ?p')B et, par suite, puisque pq' — qp' est différent de zéro, annule A et B et vérifie le système (1).
74. Méthode de résolution par substitution. — Soient les deux équations du premier degré à deux inconnues
I, ( ax "X} } a'x
ax + by = c,
Supposons l'un des quatre coefficients a, b, al ou V différent de zéro, par exemple a, et résolvons la première équation par rapport à x, nous aurons le système équivalent
puisque la première équation est remplacée par une équation équivalente. Portons la valeur de x fournie par la première équation dans la seconde et nous obtenons le système :
qui est équivalent au système (2) ; car, on déduit le système (3j du système (2) en remplaçant la seconde équation par celle que Ton obtient en en retranchant membre à membre la première multipliée par a' (n° 73, Th. I). Or, dans le système (3), la seconde équation ne contient plus qu'une seule inconnue y ; on pourra donc la résoudre par rapport à y et elle donnera, en général, une valeur et une seule pour y. En remplaçant y par sa valeur, dans la première équation, on aura la valeur de l'inconnue x. On voit que le système admet, en général, une solution et une seule.
Remarque. — Si Tune des deux équations proposées ne contenait qu'une seule inconnue, la méthode se simplifierait, car on aurait de suite un système de la forme (3); il suffirait de résoudre l'équation à une inconnue et de porter la valeur de cette inconnue dans l'autre. Ainsi, pour résoudre le système
l 3ar — 5 = 0, . } 2iy + or = 7,
je tire x de la première équation, ce qui donne :
Je porte cette valeur de x dans la seconde, et j'obtiens :
?' = 3- Exemple. — Soit à résoudre le système :
te-i + l»,-},
Je tire x de la première équation :'
et je porte dans la seconde :
qui donne, en résolvant, la valeur de y :*
En portant cette valeur de y, dans la précédente, j'obtiens :
