Méthode de résolution par réduction. — Soit le système

de deux équations du premier degré à deux inconnues. i

Si a6' — 6a' est différent de zéro, le système est (n° 73, Th. II \ j^s™ équivalent au système : . ^*/y*

b'{ax -f 61/ — c) — ô(a'ar + 6'?/ — c') = 0, P (aa? -f- % — c) + a{a'x -f- i'j/ — c') = 0.

Or, ce système s'écrit, en simplifiant :

( {abf — ba')x — (cf>f - bt) = 0, W ) (ab* — ba')y — (acf — ca') = 0,

dans lequel chacune des équations, ne contenant plus qu'une inconnue, donne la valeur de cette inconnue. On en tire donc

cb' — bcr __ ac — ca'

(4) x~ ab'-ban y ~ ab'-bar

Ceci nous prouve la proposition suivante connue sous le nom de Règle de Cramer :

Lorsque, dans le système (1), la quantité ab' — ba' est différente de zéro, ce système admet une solution et une seule donnée par les formules (4) dites de Cramer.

Les valeurs des inconnues ont pour dénominateur commun ab' — ba' et le numérateur de chacune d'elles s'obtient en remplaçant, dans le dénominateur, les coefficients de cette inconnue far les termes connus correspondants, supposés écrits dans les seconds membres.

Ainsi, le numérateur de x s'obtient en remplaçant, dans ab' — ba', a par c et a! par c'.

Remarque. — Pour obtenir la première équation du système (2), on a multiplié la première équation (1) par le coefficient de y dans la seconde, et la seconde équation (1), par le coefficient de y dans la première; on obtient, ainsi, deux équations dans lesquelles les coefficients de y sont égaux, et, en les retranchant membre à membre, on fait disparaître y. C'est ce qu'on appelle avoir éliminé y. De même, la seconde des équations (2) ou (3) s'obtient en éliminant x entre les deux équations (1). On rend, pour cela, les coefficients de x égaux dans ces deux équations, en multipliant chacune d'elles par le coefficient de x dans l'autre, et, en retranchant, x disparaît.

Au fond, éliminer y entre les deux équations (1), c'est trouver la valeur qu'il faut donner à x pour que ces deux équations, considérées, chacune, comme une équation h une seule inconnue y, admettent la même solution pour y.

Exemple. — Soit à résoudre le système :

Faisons d'abord passer, dans chaque équation, toutes les inconnues dans un membre et chassons les dénominateurs (n° 55), ce qui donne :

Éliminpns y, en multipliant la première équation par 2 et ajoutant membre à membre, il vient: