On donne la suite
a 4- b 4- c, ap -f bq 4- cr, ap* 4- bq* + cr*, «p* 4- bq* 4- ci"', etc. ...
et Ton demande de trouver trois nombres x, y, z tels que chaque terme de cette suite s'obtienne en multipliant le précédent par r, l'antéprécédent par y et celui qui précède de trois rangs par z, et en ajoutant les résultats.
(J. Bkrtrand).
84. x et y étant deux nombres quelconques, on calcule deux autres nombres x' et y' par les formules :
x1 = ax 4- by 4- c, y' = a'x 4- b'y 4- c' .
On calcule ensuite deux nombres x" et y" qui se déduisent de x' et y* de la même façon que ceux-ci se déduisent de x et y :
xm = ax* 4- by' 4- c, y" = a'x' 4- b'y' 4- C.
On demande de déterminer a', b', c' de façon que l'on ait toujours
quels que soient les nombres x et y.
[Baccalauréat y Rennes).
85. Dans un triangle ABC on donne le côté BC = a et la hauteur h issue du sommet A. Calculer les dimensions d'un rectangle inscrit, de périmètre 2p, dont un côté repose sur BC. — Discuter.
86. Étant données les bases a, b et la hauteur h d'un trapèze, calculer la hauteur du triangle qui a pour sommets le point de concours des côtés non parallèles et les sommets de la grande base. — Discuter.
87. Un train T, dont la vitesse est v, part après un autre train T', dont la vitesse est \ v; et le retard est calculé de manière qu'ils arrivent en même temps à destination.
Le train T' est obligé de ralentir de moitié sa vitesse, après avoir fait les - de la
course. Il y a rencontre des trains a lieues avant le point d'arrivée. Trouver la longueur x du trajet.
(J. Bertrand).
88 Deux triangles ABC, A'B'C ont leurs bases b et br sur une même droite. Leurs hauteurs sont, respectivement, h et h'. On demande à quelle distance de la base il faut mener une parallèle à cette ligne pour que les deux parties de cette parallèle, interceptées dans les deux triangles, soient égales. — Discuter.
(Bezodis).
89. Une sphère est posée sur un plan horizontal. Sur le même plan repose un cône droit dont la hauteur est égale au diamètre de la sphère. On demande de couper les deux corps par un plan horizontal de telle sorte que les sections soient entre elles comme deux nombres donnés. — Discuter.
(Concours général).
90. n pierres sont rangées en ligne droite à d mètres de distance les unes des autres. Déterminer sur cette droite un point M tel qu'on ait k fois plus de chemin à faire pour transporter, successivement, chaque pierre au point M que pour les transporter à la place occupée par la première d'entre elles. On supposera, dans les deux cas, qu'on parte de la première pierre. — Discuter.
On fera, d'abord, le problème en prenant pour n une valeur numérique, par exemple n = 5, puis on abordera le cas général.
(J. Bertrand).
91. Étant données deux droites concourantes ox et oy et un point P dans l'angle xoy, mener par le point P une sécante MPN, qui coupe ox en M et oy en N, telle que l'on ait la relation :
