CHAPITRE PREMIER
87. D'après sa définition même (Voir n° 55), une équation du second degré, à une inconnue x, est une équation telle, qu'en faisant passer tous les termes dans un membre, elle prenne, toutes réductions faites, la forme :
ax* + bx + c = 0 (1),
où a est différent de zéro. Pour résoudre cette équation, nous ferons subir à son premier membre quelques transformations. Mettons a en facteur, elle s'écrit :
Dans la quantité entre crochets, on peut considérer les deux termes .t1 et - x comme les deux premiers termes du développement du
t lia
carré de x + — - , car ce carré est x* 4- - x -f- ■— . Si donc on ajoute
et on retranche, dans le crochet, — , on met 1 équation sous la forme :
ou
220 ALGÈUKE ÉLÉMENTAIRE.
Nous sommes, alors, amené à distinguer trois cas.
61 — hac 1° Supposons b* — kac positif. On peut considérer — — —
\b* — bac
comme le carré de - -, \ bx — bac désignant la racine carrée
arithmétique de b* — 4ac. L équation (2) s'écrit, alors :
ou, enfin, puisque la quantité entre crochets est une différence de carrés,
Or, a étant différent de zéro, pour que le premier membre soit nul, il faut et il suffit que l'un des deux crochets soit nul. Il faut donc que Ton ait : ou bien
c'est-à-dire
6 + VF=^
ou bien
6 yJW — kac X + Ta+—la—=°>
c'est-à-dire
Donc, dans ce cas, Y équation du second degré (1) « deuor racines , et «feux seulement, données par les formules (3) et (4).
2° Supposons 6* — 4ac nul. L'équation (2) prend alors la forme simple :
HÊSOLUTION DUNE ÉQUATION DU SECUSD HEURE.. 2-21
Pour que le premier membre de l'équation soit nul, il faut et il suffit que
ou que : .r = — - (o).
L'équation n'a qu'une racine et une seule. Cependant, il faut remarquer que, dans ce cas particulier, le raisonnement que nous avons fait, dans le cas précédent, pourrait encore s'appliquer; les formules (3) et (4) donnent encore les racines, mais les valeurs qu'elles fournissent sont égales. Pour rappeler ce fait, on dit que, lorsque b* — Aac =. 0, les deux racines de Véquation du second degré sont égales, ou encore que V équation a une racine double.
11 faut remarquer, d'ailleurs, qu'en changeant au besoin les signes des deux membres de l'équation (1), on peut toujours supposer a >> 0 et, alors, le premier membre de l'équation s'écrit, lorsque» I,* iac = 0,
Le premier membre de l'équation est donc un carré parfait ('). 3° Supposons b* — kac négatif. L'équation (2) s'écrit :
La quantité entre crochets est la somme de deux quantités, l'une
positive ou nulle (x -f- 5- ) » l'autre toujours positive — — — : elle
est donc toujours positive et jamais nulle. L'équation, dans ce cas, n'a pas de solutions.
Remarque I. — La quantité b% — bac qui, comme nous venons de le voir, joue un rôle important, est ce qu'on appelle le discriminant de l'équation du second degré. Les résultats précédents se résument de la façon suivante :
1° Lorsque le discriminant est positif, l'équation du second degré
(1) On dit qu'un polynôme, entier enx, est carré parfait lorsqu'il est le carré d'un autre polynôme, entier en x.
a deux racines données par la formule
— b± yjb' — kac ...
* = Ta (b)'
où on prend successivement le signe (+) et le signe (— ) devant le
radical.
2° Lorsque le discriminant est nul, l'équation a une seule racine
(double) qui est
3° Lorsque le discriminant est négatif, l'équation nya pas de
racines.
Remarque II. — Il y a des cas particuliers où la formule de résolution (6) affecte une forme plus simple. Prenons l'équation
x* + px -f- 9 = 0.
Ceci revient à supposer : a = 1 , b — p, r — 7 ; et la formule (6) devient :
*=-Wï-«
