c* + kx

Le discriminant est 16 — 16 = 0 ; l'équation a une seule racine double

D'ailleurs, le premier membre est un carré parfait car l'équation s'écrit :

88 ('). Cas de a = 0, b ^ 0. — Dans la résolution précédente de l'équation générale du second degré

ax*+bx + c=Q (1),

nous avons suppose, essentiellement, a différent de zéro. Si a était nul, l'équation ne serait plus du second degré, elle se réduirait à l'équation du premier degré

bx -f- c z= 0,

qui a une racine x = -, si b est différent de zéro. On en conclut

que, si on fait varier le coefficient a dans l'équation (1), le coefficients

restant différent de zéro, il y a une des deux racines de l'équation

qui disparait, lorsque a prend la valeur zéro. On est conduit à se

demander comment cette racine disparaît. C'est ce que nous allons

rechercher. Remarquons, d'abord, que, b restant différent de zéro,

lorsque a a une valeur très petite, kac a aussi une valeur très petite

et qu'on peut toujours prendre a assez petit pour que la valeur

absolue de kac soit plus petite que b9. Le discriminant b1 — bac

est donc positif et l'équation a deux racines x' et x" :

— ^+V'63 — 4ac „ — b — y/b*— kac

Lorsque a est nul, le radical yb* — kac se réduit à \/é* qui est la valeur absolue de b. Nous distinguerons, par suite, deux cas.

(1) Le lecteur, soucieux de rigueur dans les démonstrations et les termes, pourrait ne lire les nM 88 et 89 qu'après avoir lu le chapitre i du livre IV.

-224 ALGKBHE ELEMENTAIRE.

1° b > 0. On a : \^8= | b \ = b. Pour a = 0, le numérateur de x devient — b-\-b = 0, son dénominateur s'annule et x' se présente

sous la forme indéterminée -. Pour lever l'indétermination, multiplions, haut et bas, par la quantité conjuguée du numérateur (Voir n°53). Il vient, après réductions,

je' = =— r (8)

— b — \ b* — kac

et, pour a = 0,1a vraie valeur de x' est — — ou — -, ce qui est précisément la racine unique de l'équation bx -f- c = 0. Au contraire, pour a = 0, le numérateur de x" est — b — b = — 2b, différent de zéro, et, comme son dénominateur est nul, x" croît indéfiniment. i Voir n° 52.)

2° b < 0. On a : \ffî = | b | = — - b. Pour a = 0, le numérateur de x' est — b — b = — 26, différent de zéro, et, comme le dénominateur est nul, on peut dire, que, quand a tend vers zéro, xf croît indéfiniment. Quanta x", pour a = 0, son numérateur est — é + é=0

et sa valeur se présente sous la forme indéterminée -. Pour lever

l'indétermination, multiplions, haut et bas, par la quantité conjuguée du numérateur et, après simplifications, il vient :

On a donc la vraie valeur de x'\ pour a == 0,

En résumé, lorsque a tend vers zéro, b restant différent de zéro, il y a toujours une des deux racines de V équation qui croît indéfiniment et Vautre prend la valeur qui est la racine de V équation du premier dogrè à laquelle se réduit Véquation (1), pour a = 0.

Nous savons donc maintenant que c'est en croissant indéfiniment qu'une des deux racines dUparait.

89. Cas de a = b = 0. — Si, dans l'équation générale du second degré, les deux coefficients a et b sont nuls simultanément, l'équation se réduit à

égalité qui est : ou bien impossible, si c est différent de zéro, ou identique, si c est nul.

On voit donc que, si, dans une équation du second degré, les deux coefficients a et b deviennent nuls simultanément, c restant différent de zéro, l'équation n'a plus aucune racine : les deux racines ont disparu. Nous allons encore rechercher comment elles disparaissent. Pour cela, reprenons les formes (8) et (9) sous lesquelles nous avons mis précédemment les racines :

— b -f- V** — ^ac — * — \l0* — 4tf

Ces deux formes montrent immédiatement que, quand a et b tendent vers zéro, c restant différent de zéro, les numérateurs de x' et x" restent différents de zéro et les dénominateurs tendent vers zéro. Les deux racines croissent indéfiniment.

Donc, lorsque a et b tendent vers zéro, le ternie constant c restant différent de zéro, les deux racines de Véguation disparaissent en v roissan t in dé fin itne n 1 .

90. Certaines équations qui, au premier abord, ne paraissent pas être du second degré se ramènent au second degré, toutes réductions faites.

Ainsi la suivante :

x*ix — l)(x — 2} + x\x + i) (x + 2) — 2(z* + x* + x + i)=Q,

qui paraît être du quatrième degré, devient, après réductions,

2x* — 2x — 2 = 0 ou x* — x — 1 = 0,

qui est du second degré et a deux racines

Des équations fractionnaires, lorsqu'on les rend entières en chassant les dénominateurs, ou des équations irrationnelles, rendues entières par des élévations aux puissances, peuvent conduire à des équations du second degré, mais il ne faudra pas oublier que, dans ces cas, on pourra introduire des solutions étrangères (Voir n- 56 et 57).

Aloèbkb élémentaire. 15

Exemple. — Résoudre l'équation

(1) yjx + i + Y^tf + 3 =5.

Isolons un radical, l'équation s'écrit :

\!,v+i =5— V2# + 3; élevons au carré et il vient :

x + 1 = 25 + 2x + 3 — 10 V«« 4- 3« Isolons encore le radical

10 \/2x+3 = x + 21 et, en élevant au carré, nous obtenons :

ce qui donne l'équation :

dont les racines sonl

Puisqu'on a élevé deux fois au carré, on a pu introduire des solutions étrangères. Gomme il est facile de le vérifier, 3 est racine de l'équation proposée et 143 ne Test pas. L'équation (!) a donc une seule racine qui est 3.

La racine 143 satisfait l'équation :

\IZx + 3 — \'x + 4 = 5.