Soit l'équation générale du second degré
ax* -{- bx -\- c = 0.
Nous avons vu (n° 87) que, lorsque le discriminant est positif ou nul, on peut mettre le premier membre sous la forme identique :
F , A v'68 — 4acl F , b , yW^^l
Désignons par x' et x" les deux racines de l'équation (racines qui sont égales lorsque b2 — kac = 0) :
— 4ac
4^éf-
— knc
"la
L'expression (1) s'écrit, alors,
et, comme cette expression est équivalente au premier membre de l'équation, on a l'identité :
(2) ax* + bx + c = a(x — x') {x — x")
ou, en développant le second membre,
ax* -(- bx -J- c = ax* — a (x' -f- ■#") x + ax'x".
Or, lorsque deux polynômes entiers sont équivalents, ils sont égaux terme à terme (n° 48, Th. III \ Cor.). On a donc :
et, de là, on tire les deux relations :
f .rV = -, a
230 ALGEBRE ELEMENTAIRE.
qu'il est possible de vérifier par la substitution des valeurs ci-dessus de x' et de x".
La somme des racines est donc égale an quotient, changé de signe, du coefficient de x par le coefficient de x*. Le produit des racines est égal au quotient du terme constant par le coefficient de x*.
Ces relations prennent une forme plus simple dans le cas où l'équation a la forme :
on a, en effet,
( rf + *" = ,>, l x'x' = q.
92. Application. — Reconnaître, a priori, sans les avoir calculées, les signes des racines d'une équation du second degré.
Le signe du produit - des deux racines nous apprend, immédia-
tement, suivant qu'il est (-f-) ou (— ), que les deux racines sont de
même signe ou de signes contraires. Lorsque les deux racines sont
de même signe, ce signe commun est évidemment celui de leur
somme .
Il faut remarquer, d'ailleurs, que, lorsque les deux racines sont de
signes contraires, le signe de la somme est celui de celle des
deux racines qui est la plus grande en valeur absolue.
Exemple I. — L'équation
a deux racines, puisque
Ces deux racines sont de même signe, puisque leur produit 112 est positif, et elles sont toutes deux positives, puisque leur somme 53 est positive.
Remarque. — Dans ce qui précède nous avons supposé que le discriminant est positif et, par suite, que les racines existent; mais, lorsque, dans l'équation du second degré
ax2 + bx -f- c = 0, le quotient - est négatif, on peut affirmer que l'équation a deux
racines de signes contraires. Car, - étant négatif, ac est aussi négatif
et 6a — hac est nécessairement positif. L'équation a donc certainement deux racines qui sont, d'ailleurs, de signes contraires, puisque
leur produit - est négatif.
Exemple II. — L'équation
2xs + 3x — "7 = 0
a certainement deux racines de signes contraires, puisque le coefficient
de*1 et le terme constant sont de signes contraires. De plus, la somme — -
des deux racines étant négative, c'est la racine négative qui a la plus grande valeur absolue.
Résumé. — Il ne sera pas inutile de résumer les résultats, contenus dans le chapitre et les deux articles précédents, dans les deux tableaux qui suivent :
1" Tableau.
- < 0, deux racines de signes contraires, la plus grande, en valeur absolue étant du signe
de .
b% — Aae < 0, pas de racines ; r \ bl — 4<i<r = 0t deux racines égales;
f b* — lac
> 0, deux racines, l'une et l'autre, dn signe de .
2* Tableau.
A* — iac <. 0, pas de racines.
b1 — Aae ■==. 0, racines égales.
b* — *ar > 0, deux racines v signe do — -;
' de signes contraires si - < 0, la plus grande étant du
de même signe et du signe de si - > 0.
Il conviendra d'employer, plus spécialement, le premier de ces tableaux pour les équations numériques ; mais il pourra arriver, pour certaines équations littérales, qu'il soit préférable de s'adresser au second et de commencer par le calcul du discriminant.
232 ALGEBRE ELEMENTAIRE.
93. Problème I. — Calculer deux nombres connaissant leur somme s et leur produit p.
Il résulte, immédiatement, des relations entre les coefficients el les racines que les deux racines de l'équation du second degré
x* — sx -f- p = 0 (1 }
sont deux nombres répondant à la question. D'ailleurs, ce sont les seuls, car, soit xYun des deux nombres cherchés, l'autre seras — ar, et on devra avoir
x [s — x) = p ou Xe — sx -f- p = 0.
L'un des deux nombres est donc Tune des racines de l'équation du second degré (1); l'autre nombre est alors nécessairement égal à l'autre racine, puisque la somme des deux racines de l'équation (1) est égale à s.
Problème IL — Former l'équation du second degré dont les racines sont égales aux racines de r équation du second degré
(1) ax* + bx + c — 0
augmentées du nombre h.
Soient x1 et x" les racines de l'équation (1). Les racines de l'équation cherchée sont x' + h et x" -f- A. Leur somme est donc
el leur produit :
,x> | h) (x" + h) = x' x" + h {x' -f «") + A* = - — * -+ **. L'équation du second degré cherchée est donc :
ax* -f (6 — 2ah) x + ah*- bh + c = 0 (2).
Remarque I. — On pourrait disposer du nombre A de façon que l'équation (2) ait une forme simple. Ainsi, si on prend
l'équation (2) n'a pas de terme en x et devient :
b* — kac
nx- ; = 0.
ka
Cette équation s'écrit, alors,
« b1 — kac
~ ka*
et on voit, de suite, que, si b* — kac ^ 0, elle a deux racines :
\/b* — kac
Les deux racines de l'équation (1) s'obtiennent en diminuant
celles-ci de k, c'est-à-dire de — , elles sont donc données par la
formule :
b ^ ^b% — kac
Remarque IL — On pourrait, par le môme procédé, former
l'équation du second degré ayant pour racines kxf et À"x", k étant un
1 1 nombre donné, ou encore — et — . Les équations ainsi obtenues sont
ce qu'on appelle les transformées yen x -f- h, en kx, en - de l'équation
proposée. D'une manière générale, on appelle transformée en f[x), f(x) désignant une fonction donnée de x, l'équation qui a pour racines les valeurs numériques f(x') et f{x") que prend la fonction f (x) quand on y donne, successivement, àx, les valeurs x et x" qui sont les racines de l'équation proposée.
Les transformées en x 4-h, kœ. - peuvent, d'ailleurs, s'obtenir
rapidement par voie directe.
Par exemple, soit x une racine de la transformée ena?-f/i,a? — h sera une racine de l'équation proposée (1); on a donc :
ce qui est la transformée cherchée qui est identique, comme il est aisé de le voir, à l'équation (2).
De même, x étant une racine de la transformée en kx, - est une
racine de l'équation (1) et on a :
ou :
ax* + bkx + ck* = 0,
qui est l'équation transformée cherchée.
La transformée en - , qu'on appelle aussi équation aux inverses
des racines de l'équation (1), est :
aQ+bl+«=°
ou
ex* -|- bx -\- a : = 0.
