Sommes des puissances semblables des racines
— Soient x' et x" les racines de l'équation
(1) ax% -f 6x -f- c = 0,
proposons-nous de calculer les sommes #'* + x "2, x's -f"^"5* ... d'une
manière générale a?'n -{- ar"n.
Désignons ces sommes par sr sa, ... sn:
•V — — *fc ~t~ i" , a., — «*< "" T" X ' y ••• o — X "~T~ X •
#' et x" étant racines de l'équation (1), on a les identités :
(2) ax'2 + &r' + r == 0,
(3) a*"2 + fa/' + c = 0.
Ajoutons-les, membre à membre, il vient :
ou, en posant x' + x" = *,,
/m, + ôst + 2c = 0.
Or, nous connaissons *. qui est égal à ; cette formule nous
donne donc si :
bs. + 2c b2 — 2ac
Multiplions les deux membres de l'identité (*2) par x\ les deux membres de l'identité (3) par x" et ajoutons, membre à membre, il vient :
a (x** + x*) + b {x'7 + x"*) + c(x' + x") = 0 ou as9 + **j + <**i = 0.
Or, nous connaissons st et**,, cette formule nous donne donc «v3 :
bxt + csl 3abc — fr1
D'une manière plus générale, multiplions les deux membres de
l'identité (2) par jf'"~2, les deux membres de l'identité (3) par x"n~* et ajoutons les identités obtenues, membre à membre, nous aurons :
a (x'n + *"") + b (jr"1"1 + tf'"1"1) + c (x'n-2 + x"""1) = 0
(4) as 4- bx , -f es = 0.
Celte formule nous montre que, dès qu'on connaît *M-1 et *h 2, on connaît s , car on a :
bs , + es e
Puisque nous connaissons st et sv en prenant n = 3, nous aurons s3 ; connaissant s, el*8, en prenant n = 4, nous aurons s4; puis, connaissant *3 et sv pour n = 5, nous aurons *-; et ainsi de suite. On voit donc que la formule (4) nous permet, en faisant successivement n = 3, n = 4, n = 5, etc., de calculer, de proche en proche, s3, *4, *3, etc., connaissant .^ et sà. Une telle formule est ce qu'on appelle une formule de récuivence.
Remarque I. — Dans le cas de l'équation simplifiée
a?1 -f- px + 7 = 0, la formule de récurrence (4) devient :
(5) si '= — ps^ — qsn^.
Les premières sommes sont :
*4 = — p. si== p* — 2ry, *, = 3^7 — ;;5.
236 ALGEBRE ELEMENTAIRE.
Ces sommes sont des polynômes entiers en p et q, on peut, alors, conclure qu'il en est de même pour toute autre somme. Car, si $H t
et s h 2 sont des polynômes entiers en p et q, la formule (5) montre que sn sera aussi un polynôme entier, puisque ce sera la somme des deux polynômes entiers — ps et — asn-ï ^a proposition étant donc vraie pour st et sn est vraie pour *4; étant vraie pour ss et s„ elle est vraie pour s5; et ainsi de suite. On peut donc énoncer le théorème suivant :
Les Sommes des puissances semblables, entières et positives, des racines de Véquation du second degré
x1 -{- px -f- q = 0
sont des polynômes entiers en p et q.
Remarque II. — H serait facile de calculer les sommes des puissances entières et négatives des racines de l'équation. En effet, on a :
Ces sommes sont donc les sommes des puissances positives de l'équa-
1 1 tion qui a pour racines — : et -^, c'est-à-dire de l'équation aux
inverses des racines de l'équation proposée. Or, cette transformée
est, comme nous l'avons vu (n° 93) :
rx% -f- bx -f- a = 0,
et on est ramené au cas précédent. On aura, en appliquant les formules précédentes :
b avec s zzz ;
et, d'une manière générale :
es 4- bs . .. + a* , ay = 0,
formule de récurrence qui donnera les sommes s 2% .*4, s s, . ., de proche en proche.
Ainsi, on a, pour les premières sommes :
b __ b% — <2ac __ Sabc — ^
D'ailleurs, on pourrait encore remarquer que l'on a :
fn i -~//n * "
—m tn i
ir a? ara? / L \ c
ce qui prouve que, quand on connaît sn, on a, immédiatement, s
Problème. — Former la transformée en xz de f équation
as* + Vx H~ (l == 0-
Soient a?' et a" les racines de cette équation. L'équation cherchée a pour racines x'3 et a."3; la somme de ses racines est donc :
et le produit :
L'équation cherchée est donc :
ar1 — (3p7 — p3)* + q2 = 0.
EXERCICES
