Signe do Trinôme. — Soit

ax* + bx -f- c

le trinôme, le plus général, du second degré. En suivant une marche identique à celle que nous avons employée (n°87) pour la résolution de l'équation du second degré, on pourra mettre ce trinôme sous la forme suivante :

rf + fe + .„.[(.+^)'-ïi*s] ()!.

Nous distinguerons, alors, trois cas suivant le signe du discriminant h* — iac :

240 ALGÈBRE ÉLÉMENTAIItt:.

1° Si b* — 4«rr>0, on peut écrire l'identité (1) sous la forme (Voirn° 91) (■) :

ax* + bx + c = a(x — x') (x — x") (2),

en posant :

h 4- W — kac t x = ,

f — b— y 6' — kac

Supposons, pour flxer les idées, x > x"; le nombre x ne peut alors occuper que trois positions relativement aux nombres x'et x*. t°x peut être plus grand que x', auquel cas il est, a fortiori, plus grand que x"; les deux différences x — x' et x — x" sont toutes deux positives et le trinôme est du signe de a. 2° x peut être plus petit que xf mais plus grand que x"; dans ce cas, x — a?' et a? — xn ont des signes contraires, leur produit est négatif et le trinôme a le signe contraire du signe de a. 3° Enfin, x peut être plus petit que x", il est, alors, a fortiori, plus petit que a?'; les deux différences x — x' et a? — x" sont négatives, leur produit est positif et le trinôme a le signe de a.

Lorsque x est plus grand que x' ou plus petit que x", nous dirons .que x ri 'est pas compris entre les racines x' et x' du trinôme; lorsque x est plus petit que x' mais plus grand que x", nous dirons que x est compris entre les racines x' et x".

Avec ce langage abrégé, on peut donc dire, en résumé, que :

Lorsque le frinôme du second degré a deux racines (b* — 4ac>0), t7 est du signe de son premier terme pour toute valeur de la variable x non comprise entre les racines et du signe contraire à celui du premier terme pour tout£ valeur de la variable comprise entre les racines.

11 n'est, d'ailleurs, nul que quand la variable x a Tune des deux valeurs x' ou x" .

2° Si b* — 4ac = 0, l'identité (1) devient:

axt + bx+CEEia (s+^j qui montre, immédiatement, puisque (x + r- j est une quantité

(I) On pourrait, lorsque x' est différent de x"% établir l'identité (2) en se servant du corollaire du théorème II du n* 48. En effet, le polynôme ax* + bx + c s'annulant pour les deux valeurs différentes iaï'etx = x") est divisible par le produit (x — x1) {x — x"). Il ne diffère donc de ce produit que par un facteur constant qui doit être a, puisque le coefficient de * * est a. On a donc,

ax* + bx + e = a (x — x*) (x — x").

ÉTUDE DU TRINOME DU SECOND DEGKÉ. 211

toujours positive, sauf pour la valeur x = — — pour laquelle elle

est nulle, que :

Le trinôme est toujours du signe de son jwemier terme, sauf pour la

valeur — — , pour laquelle il est mil.

3° Enfin, lorsque bà — kac < 0, on peut écrire l'identité (1) sous la forme :

Vf h\*

ax*

kac — b* Or, puisque, d'après l'hypothèse, — — — est une quantité positive,

non nulle, on voit que la quantité entre crochets est toujours positive : puisqu'elle est la somme de deux quantités positives, dont Tune n'est certainement pas nulle. Le trinôme a donc toujours une valeur numérique différente de zéro et du signe de a. Donc :

Lorsque le trinôme na pas de racines (b* — 4ac<0), il a, pour foute valeur de la variable x, une valeur différente de zéro et du signe de son premier terme.

D'après les remarques précédentes, on peut énoncer les conclusions suivantes, relatives au signe du résultat de la substitution d'un nombre dans le premier membre d'une équation du second degré.

Si le résultat est de signe contraire à celui du premier terme, les racines existent, et sont distinctes, et le nombre substitué est compris entre ces racines.

Si le résultat est du même signe que le premier terme : ou bien V équation napas déracines ; ou bien les racines sont égales; ou bien les racines existent et sont distinctes et, de plus, le nombre substitué n'est pas compris entre les racines.

Application. — Reconnaître la position d'un nombre par rapport aux racines d'une équation du second degré, sans avoir calculé ces racines.

Soit

ax* -f- bx -f- c = 0,

une équation du second degré ayant, par hypothèse, deux racines distinctes (b* — kac > 0), et soit a un nombre qu'il s'agit de comparer à ces racines. Désignons par f(x) le trinôme du second degré, premier membre de l'équation,

f (x) == ax2 + àx + c

ALG&BR3 éLélfBNTAlRB. 16

242 ALGÈBRE ELÉME.NTAiRE.

et calculons la valeur numérique que prend ce polynôme, pour

f (a) = aa* + b* + c.

D'abord, si le nombre f (a) est égal à zéro, a est Tune des deux racines de l'équation, et on reconnaît, immédiatement, si le nombre x est égal à la plus grande ou à la plus petite racine en le comparant

à la demi-somme des racines qui est — — (n° 91)."

Si le nombre /"(a) est différent de zéro, il peut se présenter deux cas :

1° /(a) est du signe de a. On en conclut, d'après ce qui précède, que a n'est pas compris entre les racines. Il reste à distinguer si a est plus grand que la plus grande racine ou plus petit que la plus petite. Pour cela, il suffit de le comparer à un nombre compris entre les deux racines. Par exemple, si elles sont de signes contraires, 0 est compris entre les racines. Si donc, le nombre est positif, il sera plus grand que la plus grande racine ; s'il est négatif, il sera plus petit que la plus petite. Si les racines sont de même signe, on remarque

que, la demi-somme — — des deux racines étant, dans tous les cas,

comprise entre ces deux racines, tout nombre plus grand que la plus grande racine est aussi plus grand que la demi-somme, et tout nombre plus petit que la plus petite racine est plus petit que la demi-somme ; a sera donc plus grand que la plus grande racine ou plus petit que la plus petite, suivant qu'il sera plus grand ou plus

ri b

petit que — - .

2° f(d) est du signe contraire au signe de a. On en conclut que a est compris entre les racines.

Exemple I. — Soit l'équation :

qui a deux racines. Si, dans le premier membre, on remplace x par I, on trouve

le résultât est de signe contraire au premier terme, i est donc compris entre les racines.

De même, si on substitue -, on trouve :

- n'est donc pas compris entre les racines et, d'ailleurs,

i ^ 60 comme 2 < ÏÔ'

- est plus petit que la plus petite racine.

Remarque. — Si, en substituant, à l'inconnue x, dans le premier membre d'une équation du second degré, deux nombres différents, on trouve deux résultats de signes contraires, on peut affirmer que cette équation a deux racines distinctes dont Vune est comprise entre ces deux nombres.

Car, de ce qui précède, il résulte qu'il n'y a que dans le cas où il a deux racines distinctes qu'un trinôme du second degré prend des valeurs de signes contraires. D'ailleurs, nécessairement, l'un des deux nombres donnera un résultat de substitution du signe du premier terme et, par suite, ne sera pas compris entre les racines ; tandis que l'autre donnera un résultat de substitution de signe contraire au signe du premier terme et sera compris entre les racines. Il y aura donc une racine et une seule comprise entre ces deux nombres donnés.

Lorsque entre deux nombres donnés il y a une racine et une seule d'une équation, on dit que ces deux nombres séparent une racine de lf équation.

Ainsi, dans l'exemple précédent, les deux nombres i et -, substitués dans le premier membre de l'équation

ont donné des résultats, — 12 et— , de signes contraires, on peut donc

affirmer que l'équation a deux racines dont une est comprise entre 1 et - .

Exemple II. — Le procédé précédent pourrait servir à calculer, de proche en proche, toutes les décimales d'une racine incommensurable d'une équation. Ainsi soit, par exemple, l'équation :

ni ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.

qui a une racine comprise entre 1 et 2. La partie entière de cette racine est, évidemment,!.

Pour calculer la première décimale, posons :

La partie entière de y sera, évidemment, la première décimale de a?. Or, y satisfait l'équation :

(•+ft)'+'(' + 4)-'-

ou: !/* + bOy — 300 = 0.

Dans le premier membre de celte équation, substituons, successivement, les nombres entiers 0, 1, 2, 3, etc., jusqu'à ce que nous trouvions deux résultats consécutifs de signes contraires. Nous trouvons ainsi que la racine positive de l'équation en y est comprise entre 5 et 6. La partie entière de y est donc 5, qui est la première décimale de la racine x.

Posons, de même,

La partie entière de s sera la première décimale de y et, par suite, la seconde décimale de x. L'équation en z est :

(5 + ru), + 50(5 + ^)-300==0

ou : s» -\- 6002 — 2 500 = 0.

Cette équation a une racine comprise entre 4 et 5, la seconde décimale de la racine x est donc 4. L'équation proposée a donc une racine qui est :

a; = 1,54, à jrrr iême près. On pourrait continuer de la sorte et calculer autant de décimales que Ton voudrait.