Résolution des inégalités du second degré. — Une

inégalité du second degré, aune inconnue, est, d'après sa définition même, une inégalité entière telle que, si Ton fait passer tous les termes dans un membre, elle prenne, toutes réductions faites, la forme

ax* -f" bx -f- c > 0,

ou la forme

ax* -f- bx + c < 0.

Comme on peut toujours, en changeant les signes des deux membres de l'inégalité (ce qui change le sens de l'inégalité), ramener la

ÉTUDE DU THIN0ME DU SECOND DEGttÉ. 245

seconde forme à la première, nous n'étudierons que la première forme.

Résoudre l'inégalité

ax} + bx -\- c > 0,

c'est trouver les valeurs de x pour lesquelles le trinôme ax*-\-bx-{-r prend des valeurs positives. D'après ce qui précède, on voit qu'il faudra d'abord examiner le signe du discriminant b1 — hac.

1° Si b* — hoc > 0, le trinôme a deux racines x' et x". Soit, par exemple, xf > x".

Si a est positif, le trinôme devra être du signe de son premier terme; x devra donc ne pas être compris entre les racines. On vérifiera donc l'inégalité en prenant

soit x > x', soit x < .r".

Si a est négatif, le trinôme doit être du signe contraire à celui de son premier terme et x doit être compris entre les racines. On satisfait donc l'inégalité en prenant :

2° Si 62 — kac ^0, le trinôme a toujours le signe de son premier terme, quelle que soit la valeur de x. Donc, si a est positif, l'inégalité

est vérifiée pour toutes les valeurs de x (sauf pour x = — —, dans

le cas de b% — kac = 0). Et, si a est négatif, l'inégalité n'est vérifiée pour aucune valeur de x, elle est impossible.

Exemples. — L'inégalité

x* — Sx + 6 < 0.

est vérifiée pour

Car, pour que le trinôme x1 — ox + 6 soit négatif, il faut que x soit compris entre les racines qui sont 2 et 3. L'inégalité

est vérifiée quel que soit x, car le trinôme x* + # + 1 n'a pas de racines, puisque son discriminant est — 3.

Lorsqu'on a une inégalité de la forme

ABC>0, où les polynômes À, B et G sont du premier ou du second degré, on

246 ALGEBRE ELEMENTAIRE.

étudie séparément les signes des trois facteurs et on prend les valeurs de .r pour lesquelles le produit a le signe (+). Or, chacun des facteurs A, B ou G ne peut changer de signe que s'il a des racines. On cherchera donc, d'abord, les racines des trois facteurs. On rangera ces racines par ordre de grandeur croissante et on formera ainsi une suite telle que, lorsque -r est compris entre deux nombres consécutifs de cette suite, chacun des facteurs conserve un signe constant.

Pour abréger le langage, on dit, lorsque x est compris entre deux nombres a et p, que -r est compris dans l'intervalle a, p.

Avec ce langage, on peut donc dire que, dans chaque intervalle, formé par deux nombres consécutifs de la suite précédente, chacun des facteurs, et, par suite, leur produit, conserve un signe constant. On a donc formé une suite d'intervalles tels que, dans chacun, le produit ABC conserve un signe constant. Pour résoudre l'inégalité, il suffira de donner à x des valeurs comprises dans les intervalles où le signe du produit est le signe (+).

11 faut remarquer, d'ailleurs, que, si l'un des facteurs conserve toujours le même signe, on pourra diviser les deux membres de l'inégalité par ce facteur (n°62, Th. Il), ce qui revient à le supprimer (à condition, bien entendu, de changer le sens de l'inégalité si le facteur est négatif).

Exemple. — Résoudre l'inégalité :

Comme le quatrième facteur x1 +a?4 I est toujours positif, on peut le supprimer et l'inégalité est équivalente à la suivante :

a? (a* — 3a: + 2) (2*« + 7ar + 3) > 0.

lie premier facteur s'annule pour x = 0 ; le second pourar = 2, etx= \ ; le troisième pour x = — -, x = — 3. Ces cinq racines, rangées par ordre de grandeur croissante, sont :

i° Lorsque a?< — 3, le premier facteur est négatif, les deux autres sont

positifs, puisque x n'est pas compris entre leurs racines; le produit est

donc négatif.

2° Lorsque — 3 < x < — -, le premier facteur est négatif, le second

positif (a? non compris entre les racines), le troisième est négatif (x compris entre les racines) ; le produit est positif.

3* Lorsque — 5 < x < 0, le premier facteur est négatif, les deux autres

sont positifs ; le produit est donc négatif.

4* Lorsque 0 < ,r < I , les Irois facteurs sont positifs ; le produit est positif.

5" Lorsque i < x < 2, le premier et le troisième facteurs sont positifs, le second est négatif; donc le produit est négatif.

6° Enfin, lorsque x > 2, les trois facteurs sont positifs; le produit est positif.

En résumé, on voit que l'inégalité n'est vériQée que dans les trois cas suivants :

Lorsque

ou lorsque ou lorsque

Pour la commodité de la discussion, on la dispose souvent sous forme de tableau. Désignons par A, Bx G les trois facteurs x, x2 — 3a? -f- 2, 2a?2 -f Ix + 3 et par P leur produit. Plaçons, dans une première colonne verticale, les valeurs remarquables de x et, en regard de chaque intervalle, les signes correspondants des trois facteurs A, B, C, dans les trois colonnes suivantes. Le signe du produit P, indiqué dans la dernière colonne, se déduit des trois signes des colonnes précédentes par la règle des signes. On a, ainsi, le tableau suivant :

' inégalité vérifiée

inégalité vérifiée

sf .

l inégalité vérifiée

Kn lisant la colonne qui contient les signes du produit P, on voit immédiatement dans quels intervalles il faut placer x pour que l'inégalité soit vérifiée (l).

(!) I/avantage de cette disposition provient de ce qu'on forme chaque colonne de signet séparément et qu'on ne s'occupe que d'un facteur a la fois. Ainsi, on forme la colonne B en écrivant que le facteur B est du signe de son premier terme pour toutes les valeurs de « sauf

pour celles qui sont comprises entre ses racines — 3 et .

Les inégalités fractionnaires de la forme

se ramènent immédiatement aux inégalités précédentes en multipliant les deux membres par le carré du dénominateur. Ainsi, l'inégalité

est évidemment équivalente à l'inégalité

ÀB>0.

D'ailleurs, on pourrait aussi les étudier directement, en étudiant séparément les signes du numérateur et du dénominateur. Lorsque l'inégalité fractionnaire ne se présente pas sous la forme

on commence par la mettre sous cette forme, en faisant passer tous les termes dans le premier membre (n° 62) et en mettant ce premier membre sous forme de fraction rationnelle (n° 50).

Exemple. — Soit à résoudre l'inégalité :

1 ^ * 3 "" .c — \ Faisons tout passer dans le premier membre, l'inégalité s'écrit :

et, enfin, toutes réductions faites :

Le numérateur, du premier membre, s'anuule pour j; = 2 ± \/5; le dénominateur est nul pour x = 1 et x = 3. Pour ranger ces valeurs par ordre de grandeur croissante, substituons I et 3 dans le numérateur. La substitution de 1, à x, dans le numérateur, donne :

résultat négatif : 1 est donc compris entre les racines. La substitution de 3 donne :

résultat également négatif : 3 est aussi compris entre les racines du numérateur. On a donc Tordre suivant :

Désignons par N le numérateur et par D le dénominateur. On forme,

facilement, le tableau suivant qui contient les signes de N et D et, par suite,

N tlu premier membre - de l'inégalité, pour les divers intervalles qu'il y a

lieu de considérer :

inégalité vérifiée.

N La lecture de la colonne qui contient les signes de rr nous montre

immédiatement que l'inégalité n'est vérifiée que dans les trois cas suivants :

^ x < 2 — yfc, . i <* x <„' 3,

97. Variation du Trinôme du second degré. — Pour étudier la variation du trinôme du second degré

y = nx% -\- bx -{- c,

lorsque x varie, nous le mettrons, au moyen d'une transformation

250 ALGEBHE ELEMENTAIRE.

que nous avons déjà employée plusieurs fois, sous la forme équivalente :

"/ , b\* b* — 4ael

eu désignant par y la valeur du trinôme, correspondante à la valeur * de la variable. Sous cette forme, on voit, immédiatement, que le trinôme y varie dans le même sens que la quantité entre crochets, ou en sens contraire, suivant que a est positif ou négatif. Désignons, en effet, par s la quantité entre crochets :

kac — b*

ko* ' on aura y = az.

A deux valeurs z' et z" de -, correspondent, pour y, les deux valeurs az' et az" . Si on a

z > z , on aura :

az' > az" «

lorsque a est positif, et

az' ' az" ,

lorsque a est négatif (Voir n°22, Th. /).

Les deux valeurs de y sont donc rangées dans le même sens que les valeurs de z ou en sens contraire, suivant que a est positif ou négatif.

Nous sommes ainsi conduit à étudier la variation de l'expression:.

Or, cette quantité z varie elle-même dans le même sens que l'exprès-

(/•+ — ]> qu'on déduit de z en en retranchant la quantité

bac — b* . . . . , / , h Y

constante — — — . Il reste donc à étudier la variation de ( j+t- * 4r/2 \ 2a.1

Le carré d'une quantité quelconque est le même que celui de sa valeur absolue. D'autre part, le carré d'une quantité positive (arithmétique) croit ou décroît suivant que cette quantité elle-même croit ou décroît. De là il résulte que le carré d'une quantité varie dans le

même sens que sa valeur absolue. (*+5~ ) varie donc dans le

sion

même sens que la valeur absolue de «r + r-. Or. comme la

quantité «r + — varie toujours dans le même sens que x, sa valeur

absolue varie dans le même sens que x lorsqu'elle est positive (car alors elle est égale à sa valeur absolue); et, au contraire, sa valeur absolue varie en sens contraire de x lorsqu'elle est négative (car la valeur absolue d'une quantité négative diminue lorsque cette

quantité augmente). Comme, d'ailleurs, Ja valeur de x + 5- es^ positive ou négative suivant que x est plus grand ou plus petit que — — , on est conduit à distinguer les deux cas suivants :

1° Lorsque x croît, depuis une valeur négative très petite jusqu'à — — (c'est-à-dire, en langage abrégé, de — 00 à — — J, la quantité x +T" croit et est négative, donc sa valeur absolue décroît.

Il en résulte que (#+£-) décroît depuis une valeur positive

très grande jusqu'à zéro (de -f- ©o à 0), et que z décroît depuis une

kac — b2 valeur positive très grande jusqu'à — j—t — •

On en conclut que :

Aac — b* lorsque a est positif, le trinôme y décroit de -f- « à — - ;

et, au contraire, que :

Aac — b* lorsque a est négatif, le trinôme y croit de — ooà •

2° Lorsque x croît, à partir de la valeur — — , au delà de toute

limite [c'est-à-dire, en langage abrégé, de — — à + °°)i 1& quantité x + — est positive et croît, donc sa valeur absolue croît. Il en 2a

(1 t x -|- — j croît, à partir de zéro, au delà de toute limite

4a c — h* et que z croît, depuis la valeur — 7-5 — , au delà de toute limite.

252 ALGEBRE ELEMENTAIRE.

4ac — b* lorsque a est positif, le trinôme y croit de — - à + oo ;

4ac — i^* et, lorsque a est négatif, le trinôme y décroît de 7 à — oo.

Résumé. — Lorsque a est positif, la variable # croissant de — ©o

4ac — b% à -f- °°i le trinôme décroît, d'abord, de + oo à — - , valeur qu'il

b A . 4ac — b1

atteint pour x = — — : pour croître, ensuite, de à + oo.

Dans ce cas, comme on le voit, le trinôme ne prend jamais des

4ac — b*

valeurs inférieures à — ; .

Lorsque a est négatif, la variable x croissant de — oo à -f- oo, le

4ac — 6*

trinôme commence par croître de — oo à — -, , valeur qu'il

b . , , kac — b%

atteint pour x = — — ; puis, décroît de ; à — oo. Dans ce

cas, le trinôme ne prend jamais des valeurs supérieures à — — — .

Remarque. — Lorsque, parmi toutes les valeurs que peut prendre une fonction, il y en a une qui est plus grande que toutes les autres, on dit que cette valeur est un maximum absolu de la fonction. De même, si, parmi toutes les valeurs que peut prendre une fonction, il y en a une qui est plus petite que toutes les autres, on dit que cette valeur est un minimum absolu de la fonction.

De ce qui précède, il résulte que, lorsque a est positif, le trinôme

a un minimum absolu , qu'il atteint pour x = — — ; el

que, lorsque a est négatif, le trinôme a un maximum absolu

4ar — 6* b ; , qu il atteint pour x = — — .

On aurait pu montrer, a priori, l'existence de ce maximum ou de ce minimum en résolvant la question suivante : « Pour quelles valeurs de la variable x le trinôme prend-il une valeur donnée y ? >» Les valeurs de x, cherchées, sont les racines de l'équation

a*r* + bx -f- c = y

ou ax* -f- b* + c — .7 = 0.

Or, cette équation n'a des racines que si on a :

63 — ka (c — yj > 0 ou kay ^ kac — 68.

Donc, si a est positif, il faut que Ton ait :

kac — 6S

ce qui prouve qu'il n'y a aucune valeur de x pour laquelle le

kac — b*

trinôme prend une valeur inférieure à ; .

Si a est négatif, il faut que Ton ait :

Aac — b%

et, dans ce second cas, il n'y a pas de valeur de x pour laquelle le

4/ïc — b*

trinôme prend une valeur supérieure à •

98. Représentation graphique de la variation du trinôme. — Pour représenter graphiquement la variation du trinôme ax* -{-bx-\-c, traçons dans un plan deux axes rectangulaires ox eioy et construisons la courbe qui a pour équation

y m ax* -f" bx -\- c

(voir le n° 69). Nous distinguerons deux cas suivant le signe de a. 1° a > 0 — . D'après ce que nous venons de voir, x croissant

2a "' ka

pose donc d'une branche BA, descendante, partant d'un point très

éloigné, à gauche et en haut, et aboutissant au point A de coordon-

b kac — b* nées x = — r-, y = — - (ftg. 29). x croissant, ensuite, de

b , kac — b*

— — à 4- oo, y croit de -, à + °o, la courbe se continue,

'la ka

par conséquent, par une branche montante AC, partant du point A et

s'éloignant, indéfiniment, vers la droite, en haut.

2° a < 0. — Lorsque x croît de — oo à — —, y croit de — oo à — , la courbe représentative se compose donc d'une branche

ALGEBRE ELEMENTAIRE.

montante BA, partant d'un point infiniment éloigné, à gauche, en bas

b kac — b1 et aboutissant au point À de coordonnées x = — -- , y = — -.

Fio. 20.

b kac—b*

Fio. 30.

à -7- oo, la courbe se continue, par suite, par une branche descendante AC, partant du point A et s'éloignant, indéfiniment, vers la droite, en bas.

ETUDE DU THI.NOMK DU SECOND DBG HÉ. 255

11 faut remarquer que la courbe, dans les deux cas, coupe toujours Taxe des y en un point I de coordonnées x — 0, y = c. Elle ne coupe, d'ailleurs, Taxe des x que s'il existe des valeurs de x pour lesquelles le trinôme s'annule.

La forme de la courbe représentative de la variation du trinôme est tout à fait précisée par la proposition suivante :

Théorème. — La courbe qui représente la variation du trinôme du second degré est une parabole (*).

Cette courbe a, en effet, pour équation

y =r ax* -f- bx -f- c ou

» = a[(*+s)+^îï-,];

ce qui peut s'écrire :

\ ~ ïaj a

b\ y kac — b

àac — b*

Ajoutons, aux deux membres de celte équation, l'expression :

ka ) elle s'écrira, toutes simplifications faites,

/ . *\" / kac - y + 1 V / kac -b>- 1 V

Cela étant, considérons , dans le plan , le point F dont les coordonnées sont :

__A ^ac — b'+i

(suivre, en même temps, sur les figures 29 et 30).

Soit M un point quelconque de la courbe, de coordonnées x et ;/, on a, comme on sait (Voir n° 67),

ïtt^ / . *\ , / toc — P + Vx UF={*+2Ù+(y Ta )•

(1) Non» rappelons que la parabole est le lieu des points d'un plan situés A égale distance d'an point fixe, appelé foyer, et d'une droite fixe, appelée directrice.

D'autre part, construisons, dans le plan, la parallèle à ox qui a pour équation :

kac — b% — 1

kac — ù* 1

c'est la droite DD' qui coupe mj au point D d'ordonnée 7

(n° 68). Abaissons, du point M, la perpendiculaire M H sur \)br, qui coupe ox en P. On a, entre les segments déterminés par les trois points M, H et P (en prenant pour sens positif sur la droite M H le sens 0»/), la relation de Chasles (n° 23) :