Considérons l'équation du second degré

Cherchons pour quelles valeurs de X cette équation a deux racines; puis, X étant ainsi limité, quels sont les signes des racines suivant les diverses valeurs que prend X.

D'abord, pour que l'équation ait deux racines, il faut que Ton ait :

ou

ou, enfin,

Ceci posé, la somme S des racines et leur produit P sont donnés par les formules :

açx + i) p*-i

Déterminons les valeurs de >. plus grandes que — -, pour lesquelles S ou P

changent de signe : ce sont X = 0, X = 1. Les valeurs remarquables de X, rangées

par ordre de grandeur croissante, sont, alors,

1* Lorsque X < — - , l'équation n'a pas de racines.

2* Lorsque — - < X < 0, l'équation a deux racines positives : car la somme S et

le produit P sont positifs.

:î° Lorsque 0 < X < 1, l'équation a deux racines de signes contraires: car le produit P est négatif; et c'est la racine négative qui a la plus grande valeur absolue, car la somme S est négative.

4° Enfin, lorsque X > 1, l'équation a deux racines négatives : car le produit P est positif et la somme S est négative.

Les résultats de cette discussion peuvent être résumés dans le tableau suivant :

— to

-f- oo

Pour X = 0, S et P sont infiniment grands, l'équation a une racine infiniment grande et il est évident que c'est celle qui devient négative qui devient infiniment grande puisque, lorsque X a dépassé la valeur zéro, la racine négative est la plus grande en valeur absolue. On peut donc dire que, quand X passe, en croissant, par la valeur zéro, une racine x/ passe brusquement de -f x à — oo ; en entendant, par ce langage abrégé, que l'équation a une racine x1 très grande et positive, lorsque X est voisin de zéro mais plus petit, et que l'équation a une racine xr très grande en valeur absolue et négative, lorsque X est très peu supérieur à zéro. C'est ce que nous avons indiqué dans le tableau. L'autre racine x" est, pour cette valeur de X,

égale à -.

Discuter, de la même façon, lorsque X prend toutes les valeurs possibles (de — « à -f oo), les racines des équations suivantes :

X** — Xje + X-f 1=0;

117. — Entre quelles limites doit varier y pour que l'équation :

x* — 3xy -f y* -f- 2.r — 9y -f 1 = 0

ait deux racines pour #? De même, entre quelles limites doit varier x pour que cette équation ait deux racines, en considérant y comme l'inconnue?

(Bacc. Lille).

Même question pour les équations :

ar* -f V2xy + W + lx + Sy + 20 = 0

(Bacc. Sorbonne);

ox* — 12xy + 4y« + 54a — Ay — 139 = 0

{Bacc. moderne).

ÉQUATION BICARRÉE. 261