D'UNE ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ

99. Equation bicarrée. — On appelle équation bicarrée une équation du quatrième degré qui, toutes réductions faites, ne contient que des termes de degrés pairs.

D'après cette définition, toute équation bicarrée peut se mettre sous la forme :

(1) axi + bx* + c = 0.

Soit x une racine de cette équation, posons

on aura : ar4 = y*

et, par suite, y sera racine de l'équation du second degré :

(2) axf + by + c = 0

qu'on nomme la résolvante de l'équation bicarrée (1).

Il résulte, de ce qui précède, que le carré d'une racine quelconque de l'équation (1) vérifie la résolvante (2). D'ailleurs, réciproquement,

soit y une racine de la résolvante, toute racine x de l'équation

sera une racine de 1 équation (1).

On aura donc toutes les racines de V équation bicarrée en cherchant les racines de la résolvante, puis, en résolvant autant d'équations de la forme (3) que la résolvante a de racines.

Discussion. — Pour que l'équation bicarrée ait des racines, il faut, d'abord, que la résolvante en ait ; de plus, y étant une racine de l'équation (2), l'équation (3) n'aura des racines que si y est un nombre positif. L'équation bicarrée aura donc autant de couples de racines que la résolvante aura de racines positives. Nous sommes ainsi amené à la discussion suivante :

1° b* — iac > 0. — La résolvante a deux racines; mais, pour que

^ces racines fournissent des racines pour l'équation bicarrée, il faut

encore qu'elles soient positives et ceci nous conduit à distinguer

trois cas :

(A). - > 0, > 0. La résolvante a deux racines positives

y'e.ty".

L'équation bicarrée a donc quatre racines qui sont les racines des équations

ar* = xj\ a* = y",

ce qui donne les deux couples :

x = ± vV , x = ± yjïf7'.

Or, on a :

, — b + y/P — kac „ — * — Jb* — kac V= Ta ■» = Ta

l'équation bicarrée a donc les quatre racines :

i/— b + v/éa — kac

6 + V^* — Aac

[ J-b-W-kac

— b — Jb* — kac

ÉQUATION BICARRÉE. 363

On peut réunir ces quatre racines en une seule formule et dire que les racines sont données par la formule :

— b ± slb* — hac 2a

où on prend, devant les deux radicaux, toutes les combinaisons

possibles des signes (+) et ( — ).

(B). - >- 0, <C 0. La résolvante a deux racines négatives y'

et y". L'équation bicarrée na pas de racines, car les deux équations

x% = y' et x* = y"

n'ont pas de racines.

(C). - < 0. La résolvante a une racine positive et une racine

négative. À la racine négative, ne correspond aucune racine pour l'équation bicarrée. A la racine positive yr, correspondent deux racines :

v/y7 et — M.

L'équation bicarrée a donc, dans ce cas, deux racines.

Dans le cas particulier où c = 0, la résolvante a une racine nulle

et une autre égale à ; les racines de l'équation bicarrée sont

donc les racines des deux équations :

ar2 = 0, *« = .

La première donne x = 0, qu'on peut considérer comme une

racine double: la seconde a deux racines, x = db \/ ,si

Va a

est positif, et n'a aucune racine, si est négatif.

2° b1 — 4ac=0. — La résolvante a, alors, une seule racine (double)

Les racines de l'équation bicarrée sont donc les racines de 1 équation :

(A). Si — — est positif, l'équation bicarrée a deux racines

+ y — <r- et — 1/ — — ; et on peut considérer chacune de ces

racines comme double, puisqu'elle provient d'une racine double de la résolvante. D'ailleurs, on voit que, lorsque b7 — Aac s'annule, les deux racines

L4 /— b + >]b% — kac . ./—b—Jiï — kac + V U Gt +V Ta

deviennent égales à -f- 1/ — —'De môme, les deux autres racines

se confondent en — i/ — — . C'est pour exprimer ce fait quon

dit que, dans ce cas, l'équation bicarrée a quatre racines deux à deux confondues ou encore deux racines doubles.

(B). Si — — est négatif, l'équation bicarrée n'a pas de racines.

(C). Enfin, si b = 0, la condition 6* — kac = 0, entraîne c = 0 et l'équation bicarrée se réduit à :

ax* = Q.

L'équation, dans ce cas, n'a plus que la seule racine x = Q. Mais, comme, en faisant b = c = 0, laformule générale de résolution donne, pour x, quatre valeurs égales à zéro, on dit que, dans ce cas, l'équation a quatre racines égales ou encore une racine quadruple.

3° 6* — 4ac<0. — La résolvante n'a pas de racines, il en est donc de même de l'équation bicarrée.

— On peut diriger celte discussion d'une autre manière que voici :

1° Si - < 0, la résolvante a deux racines, l'une négative, l'autre a

positive ; donc l'équation bicarrée n'a que deux racines. 2° Si - > 0, il y a deux cas à distinguer :