ÉQUATION BIGARRÉE. 2G

(A) . - ^ 0. L'équation résolvante ne peut avoir que des racines

négatives (lorsqu'elle en a); donc, l'équation bicarrée n'a pas de racines.

(B) . - < 0. Il faut, alors, examiner le signe du discriminant.

Si b* — kac > 0, la résolvante a deux racines positives et l'équation bicarrée a quatre racines.

Si 6* — kac < 0, la résolvante na pas de racines et, par conséquent, il en est de même de l'équation bicarrée.

Sib* — kac = 0, la résolvante a une racine double, positive, et l'équation bicarrée a deux racines doubles.

3° Si c = 0, la résolvante a toujours au moins une racine égale à zéro et l'équation bicarrée a toujours au moins deux racines égaies à zéro.

Si — > 0, l'équation bicarrée n'a pas d'autres racines.

Si - <0, l'équation bicarrée admet, en outre, les deux racines a

Si b = 0t la racine zéro est une racine quadruple. Résumé. — Nous réunissons les résultats de la discussion précédente dans les deux tableaux suivants :

Tableau I.

/ i - > 0, pas de racines.

, ' - < 0, quatre racines.

6« — 4ac >0 / î < 0,

. deux racines.

- > 0, pas d'autres racines.

- r= •, une racine double égale à zéro . . a I o

\ r - < 0, deux antres racines.

- > 0, pas de racines.

6* — Aac =0 - < 0, deux racines doubles. ' a

- ss 0, une racine quadruple égale à zéro. a

b* — lac < 0, pas de racines,

Tableau H.

— < 0, deux racines.

i- >. 0, pas de racines.

- ^ u , b* — kae > 0, quatre racines.

f - < 0 6* — 4ac r=r 0, deux racines doubles.

1 6« 4ac < 0, pas de racines.

- > 0, pas d'autres racines.

e r= 0, une racine double égale à zéro : - < 0, deux autres racines.

- = 0, la racine zéro est quadruple. a

Dans le cas des équations numériques, il y aura avantage à adopter le tableau II, car cette seconde manière de procéder renvoie le calcul du discriminant au moment où il devient indispensable.

Exemples. — Soit à résoudre l'équation :

La résolvante est :

y8 — lOy + 9= 0,

dont les racines sont 1 et 9. Les racines de l'équation bicarrée sont donc celles des deux équations :

a?8 = i et a* = 9,

ce qui donne les quatre racines :

Soit, encore, l'équation

a?* + xa — 12 = 0.

La résolvante

a pour racines 3 et — 4. L'équation bicarrée n'a donc que deux racines,

provenant de la racine positive, ce sont + \fe et — JT. Enfin, l'équation

x* + œ8 + 1 = 0 n'a pas de racines, car sa résolvante

y* + V + i = 0 n'en a pas.

TRINOME BICARRÉ. 267

100. Trinôme bicarré. — L'étude du trinôme bicarré se déduit facilement de l'étude du trinôme du second degré, dont il ne diffère que par la substitution de x* à x.

Signe du trinôme. — La valeur numérique du trinôme bicarré :

(1) ax* + bx* + c,

pour une certaine valeur x de la variable, n'est autre chose que la valeur numérique du trinôme

quand on donne à la variable y la valeur x*.

Si le trinôme (2) a deux racines distinctes, son signe, pour y = x*, et, par suite, le signe du trinôme (1), dépend de la position de x* par rapport aux racines.

Si le trinôme (2) a une racine double ou n'a pas de racines (b1 — iac ^ 0), son signe et, par suite, celui du trinôme (1), est toujours le signe de a (sauf pour les racines, qui lui donnent la valeur zéro).

Examinons, plus en détail, le premier cas.

1° Supposons que le trinôme (2) ait des racines distinctes, positives, y' et y" [y' > y"); le trinôme bicarré (1) a, alors, quatre racines qui, rangées par ordre de grandeur croissante, sont :

Lorsque x < — \fy(,

on a : x2 > y'

(car x est un nombre négatif dont la valeur absolue est plus

grande que Vy')> #s n'est pas compris entre les racines du trinôme (2) et le signe de ce trinôme est celui de a.

Lorsque —y/y'<x < ^

on a : y" < a?» < y',

a?» est compris entre les racines de (2), le signe du trinôme est celui de — a.

Quand — VT < * < VT ,

on a : x2 < */",

xi n'est pas compris entre les racines de (2) et le signe est celui de a.

Quand vT7 < * < \/?,

on a : y" < x« < y\

x2 est compris entre les racines de (2) et le signe du trinôme bicarré est celui de — a.

Enfin, lorsque x > \Zy\

on a : ar* > »/',

x1 n'est pas compris entre les racines du trinôme (2) et le signe est celui de -f* a.

2° Supposons que le trinôme (2) ait une seule racine positive t/', l'autre étant négative. Le trinôme bicarré (1) n'a, alors, que deux

racines réelles : — vV et + VJ/7- H ^au^ remarquer que x2, étant un nombre positif, sera toujours supérieur à la racine négative.

Si x<— v'y7,

on a : x* > y',

le trinôme est du signe de a.

Si — V7<^<v/y7,

on a : x9 < y',

x9 est compris entre les racines du trinôme (2) et le signe est celui de — a.

Enfin, si x> yjy\

on a : x* > y

et le trinôme est du signe de a.

3° Lorsque le trinôme (2) a deux racines négatives, a?9, étant un nombre essentiellement positif, est nécessairement plus grand que ces deux racines et le trinôme a toujours le signe de a. Or, dans ce cas, le trinôme bicarré n'a pas de racines. On peut donc dire, en rapprochant ce cas du cas où bx — kac ^ 0, que : Lorsque le trinôme bicarré na pas de racines, il est toujours du signe de son premier terme;

et que :

Lorsque le trinôme bicamé a deux racines doubles (b* — Aac = 0,

TRINOME BICARRÉ. 269

— ÔT > 0), ii e*t toujours du signe de son premier terme, sauf pour

les deux racines, pour lesquelles il prend la valeur zéro.

Remarque. — Ce qui précède nous conduit à faire une remarque analogue à celle que nous avons faite pour le trinôme du second degré (n° 95).

Si deux nombres a et p, substitués dans le premier membre d'une équation bicarrée

axk -f bx* + c = 0,

donnent des résultats de substitution de signes contraires, on peut affirmer que l'équation a des racines et qu'il y a une ou trois racines comprises entre les deux nombres a et p.

Car, comme nous l'avons vu, le trinôme bicarré ne prend des signes différents que lorsqu'il a des racines. De plus, en examinant tous les cas qui peuvent se présenter, on se convainc aisément que deux nombres a et p ne donnent des résultats de substitution de signes différents que s'ils comprennent une ou trois racines (c'est-àdire un nombre impair de racines).

Application. — Reconnaître la position d'un nombre a par rapport aux racines d'une équation bicarrée.

Soit

aa* + bx* + c = 0 (1)

une équation bicarrée ayant deux ou quatre racines. La résolvante

ay* + by + c = 0 (2)

a une ou deux racines positives. On comparera, d'abord, le nombre a8 aux racines de la résolvante. Pour cela, on substituera (n° 95) a2 à y dans le premier membre, ce qui revient à remplacer x par a dans le trinôme bicarré.

Le signe de cette substitution, joint, au besoin, à la comparaison

de a* à la demi-somme — -- des racines de la résolvante, donne la

position de a* par rapport aux racines de la résolvante. Connaissant

cela, on en déduira, immédiatement, la position de a par rapport

aux racines de l'équation bicarrée. Ainsi, soit y' une racine positive

de la résolvante. Si, par exemple, on a trouvé que

on en conclura

*>>/y'> si <x>0; ou

a < — V^/7, Si a < 0.

Si, au contraire, on avait trouvé que :

on en conclurait que

— y/y' < * < ffi

On connaît donc la position de ot par rapport aux deux racines

— v^y7 et + s/y7* On ferait de même pour les deux autres, s'il y avait lieu.

Exemple. — Quelle est la position du nombre 3 par rapport aux racines de l'équation :

qui a quatre racines ?

Remplaçons x par 3, dans le premier membre, il vient :

ce résultat étant négatif, 3* est compris entre les racines de la résolvante. On a donc :

y" < 3» < y' et, par suite, puisque 3 est positif,

>!¥' < 3 < vV ; 3 est donc compris entre les deux racines positives de l'équation bicarrée.

Décomposition du trinôme. — Lorsque le trinôme bicarré a quatre racines, il est décomposable en un produit de quatre facteurs du premier degré. On a, en effet, l'identité :

«V* + ày + c s a{y — y') {y— y"),

y' et y" étant les racines de la résolvante. Remplaçons, dans cette identité, y par ars, il vient :

(1) ax* + bx* + c==a {x* — y') (a?2 — i/').

Lorsque le trinôme a quatre racines, y' et y" sont positifs et on peut écrire l'identité (1) sous la forme :

(2) ax*+bx*+c=a(x^\f)(x+^)(x^y/^(x+y/^.

TRINOME BICARRÉ. 271

Si le trinôme n'a que deux racines, une seule des racines de la résolvante, y' par exemple , est positive et on peut écrire l'identité (1) sous la forme :

(3) ax* + bx* + C = a (x- tf) {x + y/7) (*■ - y/7'),

où le facteur (a?* — y") est toujours positif.

Les deux décompositions (2) et (3) pourraient servir pour étudier le signe du trinôme suivant les diverses valeurs attribuées à #, il suffirait, pour cela, d'examiner, dans les divers cas, les signes des facteurs du premier degré.

Dans tous les cas, le trinôme bicarré peut être décomposé en deux facteurs du second degré.

En effet, cela résulte de l'identité (1) toutes les fois que la résolvante a deux racines. Si la résolvante n'a pas de racines, c'est, qu'en posant

on a :

?>o, Ç-jf<o.

On a, alors,

ax*-\- bx*-{-c = a (#*+/?#* + #).

En remarquant que ar4 et q sont les termes extrêmes dans le développement de (x*zh ^q) , on peut écrire les deux identités :

(4) ax* -f bx* + c = «[(x2 + yfif — pfi — p) x*],

(5) ax* + bx* + c== a[(x* — y/q)* — (— 2 yfq—p) x*\ •

Dans la première, on a, certainement,

2v;ï- 1><0, la valeur absolue de \jq étant supérieure à celle de — , en vertu de

l'inégalité

Il vient donc :

(6) aar* + bx* + c = a[(x2 + sjqf — [x jifi — p)*]

= a [x2 + x V2 yjq —p + V?] [«"— W2 \/q —p + V?],

Et, ainsi, se trouve réalisée la décomposition du trinôme bicarré en deux facteurs du second degré.

Exemples : On a :

x*> + ,<c2 + i == (.r* + if — ,r* == (,r2 + x + i) (je2 — x + i) ; .r* + i ^ (.r2 + i)2 — 2.r2== (.r2 — x y'2 + l) (,r2 -|-^-f l).

Remarquons que l'identité (6) subsiste toutes les fois que, q étant positif, p est négatif et qu'elle donne, dans ce cas, un moyen nouveau de résoudre Péquation bicarrée. Car, en résolvant les deux équations du second degré dans lesquelles se décompose l'équation bicarrée, on obtient la formule suivante :

(7) x = ± - >Jîs!q-p ± - n/ 2 y'? - ,;,

qui est surtout avantageuse dans le cas où q = - est un carré parfait. Car, alors, on remplace une formule contenant des radicaux superposés par une autre qui ne contient que des radicaux simples.

Considérons, par exemple, l'équation

La formule du n° 99 nous donne

La formule (7) conduit au résultat suivant :

X = =fc \2 ±. i, qui est évidemment plus simple.

101. Équations réciproques. — On dit qu'une équation entière, mise sous la forme

est réciproque si, le polynôme f(x) étant ordonné, les coefficients des termes équidistants des extrêmes sont égaux, où encore, si les coefficients des termes équidistants des extrêmes sont égaux et de signes contraires et s'il n'y a pas de terme à égale dislance des extrêmes, dans ce dernier cas.