ÉQUATIONS RÉCIPROQUES
De cetle définition, il résulte que les équations réciproques du quatrième degré sont de la forme :
ax* + bx3 + ex* -}" bx + a = 0, ou de la forme :
ax* -f* bx9 — bx — a = 0.
Comme il est aisé de le voir, si on remplace, dans ces équations, x par - , on retrouve, après avoir chassé les dénominateurs, les
mêmes équations. Ces deux équations sont donc identiques à leurs
transformées en-. Ceci est, d'ailleurs, un fait général, et il est facile
de se rendre compte que toute équation réciproque est identique à
sa transformée en - . On en conclut que, si une équation réciproque
admet un certain nombre pour racine, elle admet aussi l'inverse de ce nombre comme racine.
Nous allons montrer que les résolutions des équations réciproques du troisième, quatrième et cinquième degré se ramènent à la résolution d'équations du second degré.
1° L'équation réciproque du troisième degré :
ax* -J- bx2 + bx + 0 = 0
admet la racine x = — 1 ; le premier membre de l'équation est donc divisible par x -f- 1 et cette équation s'écrit :
(x + 1) [ax* + (b — a) x + a] = 0.
Les racines de l'équation sont donc : x = — 1 , et les deux racines de l'équation du second degré :
ax* + (b — a) x + a = 0.
2° De même, l'équation réciproque :
ax* + bx* — bx — a = 0
admet la racine x = 1 et, en outre, les deux racines de l'équation du second degré :
ax* -f- (« + *) x + a = 0»
obtenue en divisant le premier membre par x — 1.
Algèbre élAmbntai&b. 18
3° Pour résoudre l'équation réciproque du quatrième degré
(1) axK + 6*»+ ex* + bx + a = 0,
divisons les deux membres par x*. Cette équation s'écrit alors
Posons :
on aura
ou
On en conclut que y est racine de l'équation du second degré :
a2/s + by + c — 2a = 0.
On aura donc toutes les racines de l'équation (1) en calculant d'abord les racines de l'équation (2), qu'on appelle la résolvante. Soit y une racine de cette résolvante. A cette racine correspondent deux racines de l'équation (1) qui sont données par l'équation :
ou
L'équation (2) ayant, en général, deux racines, comme, à chacune de ces racines, correspondent deux racines de l'équation (1), fournies par l'équation (3), l'équation (1) aura, dans le cas le plus favorable, quatre racines.
Exemples. — Soit à résoudre l'équation :
