ÉQUATIONS RÉCIPROQUES

Cette équation s'écrit, en divisant par &*,

Posons :

et on a la résolvante :

ou

Les racines de cette résolvante sont : - et — .

Les racines de F équation proposée sont donc données par les deux équations :

x + - = - et # + - = —, x 2 l x 3 *

ou

2a>2 — 5a + 2 = 0 et 3a?2 — 10a? + 3 = 0,

dont les racines sont :

2 et|, 3 et|.

Soit encore l'équation :

a?4 + x9 + x* + x + i = 0, qui s'écrit

La résolvante est :

y* + y — 1 = 0, qui a les deux racines

et

Les racines de l'équation proposée sont donc les racines des deux équations :

2a2 + (1 — \/5) œ + 2 = 0, 2s8 + (1 + >IE) x + 2 = 0.

Or ces deux équations n'ont pas de racines; l'équation proposée n'a donc pas de racines.

4° L'équation réciproque du quatrième degré :

ax* + bx9 — bx — a = 0 s'écrit :

a (*4 — 1) + te (** — 1) = 0 ou, encore,

(ai — l)[a («■+!) + J*] = 0.

Elle admet donc les racines des deux équations du second degré :

x» — 1 = 0 et ax* + bx + a = 0.

La première a pour racines + 1 et — 1 ; la seconde a ou n'a pas de racines suivant le signe de son discriminant b* — 4a*. Cette équation réciproque a donc toujours au moins deux racines, qui sont + 1 et — 1, et au plus quatre racines.

5° L'équation réciproque du cinquième degré :

ax1 + *** + ex9 + ex9 + àx + a = 0

admet toujours la racine' x = — 1 ; le premier membre est donc divisible par x -f- 1. En effectuant cette division, il reste l'équation :

ax> + (b — a) x9 + (a — b + c) x* + (6 — a) x + a = 0,

qui est réciproque du quatrième degré et que, par suite, nous savons résoudre.

6° L'équation réciproque du cinquième degré :

ax9 + bx% + ex9 — ex* — bx — a = 0,

admet toujours la racine x = 1. Le premier membre est divisible par x — 1 et il reste, cette division effectuée, une équation du quatrième degré réciproque :

or4 + (a + b) x9 + (a -f b + c) or* + (a + b) x + a = 0,

que nous savons résoudre «

Remarque. — Nous venons de voir que toute équation réciproque du troisième ou du cinquième degré admet la racine 1 ou la racine — 1. Le premier membre est divisible par x — 1 ou x -f- 1 et, en effectuant cette division, on est amené à résoudre une équation réciproque de degré pair.

Ce fait est général et il est facile de voir que toute équation réci-