Le polynôme /'(^f) ou P|(j7), dérivée du polynôme

f(x) = Ao-h Al X -+- Aia7«-f-. . .-h Xn^'\

a lui-même une dérivée, qui se déduit de f\x) par la même règle qui permet de déduire f\x) de /(x); cette dérivée du polynôme /'(x) s'appelle aussi la dérivée seconde de f{x) et se représente par f"{x)^ elle est

f\x) = 1 .2Aj-h 2.3 Aja:-h 3.4 A4a7*4-.. .-h {n — i)/iA«a:'»-»;

ce polynôme f"{x)^ du degré n — 2, a lui-même une dérivée, la dérivée deuxième de/'(:r), la dérivée troisième de /(a:), à savoir :

f"\x)= i.2.3Aj-+-2.3.4A4X-+-3.4.5A5a?«-+-...

-f- ( /i — 2 ) ( n — i) /i Art a:'»-» ;

ce polynôme a une dérivée, la dérivée quatrième de /(a:), à savoir :

/»V^) = i.2.3.4A4-+-2.3.4.5A5ar-h3.4.5.6A6a:«-f-...

-h (n — 3) (n — 2) (n — i)/iA«a?«-*.

La dérivée /?**"• (/^ < '0 ^" polynôme /(^), définie de la même

POLYNOMES. 101

façon, de proche en proche, serait

-f-2.3.4...(/?-+-i)Ap+ia:-4- 3.4.5.. (/? -h i)kp^tX^-\-, , , -Jt-in—p -M)(n— /?4-2)..,(n — \)nknX^-P\

c'est un polynôme de degré n — p\ ses termes proviennent des monômes dey*(a:) dont le degré est au moins égal à/?. La dérivée {n — i)**"* est du premier degré ; elle est

j'{n-\)(^x) = I .a.3. . . (n — i)Art i-t- 2.3.4 . • -nknX,

La dérivée n**"* def{x) est, toujours d'après la même règle,

f^n){x)= i.2.3...nA„;

elle ne contient plus x^ sa dérivée, ainsi que les dérivées suivantes du polj^ome f{x)^ si l'on voulait les considérer, devraient être regardées comme nulles; un polynôme du /i**°* degré n'a que n dérivées (non identiquement nulles) ; par exemple si l'on prend

f{x) = 4 — 5a: -h 737!^ — a?* -4- g^*^ les dérivées successives seront

f'{x) =— 5-+-2IXΗ 5a7*-+-48ar», f {x) = 42a: — 20^73 .4 240 J?^, /"{x) = 42 — 60a:* 4- gCoar», /»'(ar)=— i2oa7-+-238oa7«, f^{x) = — 120 H- 576037, f^\x) = 5760.

Dans le polynôme /(^), le premier coefficient est Aq, de même dans les polynômes /'(^), /''(^r), . . ., /^^^(o:), ...j/^^H-^) ordonnés suivant les puissances ascendantes de Xj les premiers coefficients, ou les valeurs de ces polynômes, pour x = o, sont les coefficients A|, Aj, . .., Ap, ..., A„, du polynôme f(x)^ respectivement multipliés par les facteurs numériques i, 1.2, ..., 1.2. ../?,.. ., 1.2.../?; en d'autres termes, on a

Ao=/(o), A. = ^, A, = -^, ...,

lors donc que l'on connaît les valeurs, pour x = o, d'un polynôme et de ses dérivées, on connaît, par cela même, les coefficients de ce polynôme.

42. Cette remarque, et celle qu'on a faite plus haut, relativement à la dérivée du polynôme /(« -\- ^), dérivée qui s'obtient en remplaçant X par a-\- Xy dans la dérivée f'{x) du polynôme /(x), va nous permettre de résoudre immédiatement la question posée au n* 33 :

Etant donnés un polynôme

f{x) = Ao-H A,J--h...-T- A„a7'»,

et un nombre a, trouver les coefficients Bq, B|, ..., B„ du polynôme

obtenu en remplaçant, dans le polynôme /(x)^ x par a -\- x et en ordonnant par rapport aux puissances croissantes de x.

Ces coefficients sont les valeurs pour .r = o du polynôme /(a -fJ"! et de ses dérivées ; on a vu au n** 40 que la dérivée /'(a -h x) de ce polynôme s'obtenait en remplaçant x par a -\- x dans la dérivée f[^^) de/(x)] la dérivée de/'(a-f-^) s'obtiendra de même en remplaçant X par a-\-x dans la dérivée /''(x) de ./'(x), ....

Les dérivées successives du polynôme /(a -{- x) sont y'(a-f-x\ f"{a-\-x)y .. .,/f"^ (a -f- a;); leurs valeurs, pour a* = o, sont les valeurs /'(«), /"(a), . . ,y f^"\a) que prennent les dérivées successives f'{x)jf^ {x)j ...y/"(x)dn polynôme /(^) quand on y remplace x par a, on a donc

el, par suite,

POLYNOMES. I03

Dans cette formule, les lettres a et x désignent des nombres quelconques. Elle restera vraie si l'on remplace les lettres par d'autres; en particulier, si Ton remplace a par :r et ^ par h elle s'écrit alors

Si l'on reprend les notations du n** 40, on voit que les polynômes Po(^))Pi(^)9 ...? P/>('^)î •••? Pw(^) de la formule (i) de ce numéro ne sont autre chose que les polynômes

•^^^'^^ "T"' ' TTITT^Ï' " 1.2. ../i-^'*-

On voit apparaître en dénominateur, dans ces expressions, les produits tels que i.t., , ,p des p premiers nombres naturels : ces produits figurent dans beaucoup de formules, et il est commode d'avoir une manière abrégée de les énoncer et de les écrire : une des habitudes les plus répandues consiste à appeler facto rie lie p le produit 1.2.../? des p premiers nombres naturels et de le désigner par la notation/?!. Par convention, le symbole i ! désigne la même chose que i ; enfin, par une autre convention, qui ne sera justifiée que plus loin, on pose aussi o ! = I .

Voici, à litre d'exemple, une application de la formule précédente : On a donné plus haut les expressions des six dérivées du polynôme

/{x) = 4 — 5ar-4- 73:' — x'^-h Sa?*;

les valeurs, pour a? = 1, de ce polynôme et de ses dérivées, respectivement divisées par i !, a!, . . ., 6!, sont i3, Sg, i3i, 187, 92, 8 : on a donc

4 — 5(1 -h j:-) -h 7(1-+- a:)'— (i -+- :r)5-+- 8(1 -h a:)6 = i3 -H 59a? -f- i3ia7*H- i57J?»-t-92J?*-i- 47^*+ 8ar*;

ainsi qu'on pourrait d'ailleurs le trouver par un calcul direct ne comportant que des additions ou des multiplications de polynômes : ce dernier mode de calcul permet de prévoir que les coefficients du résultat sont des nombres entiers.

43. Formule du binôme. — On peut appliquer la formule qui donne le développement de /(a -h x) au développement de (^4-^)";

le polynôme /(^) est alors le monôme :r", dont les dérivées successives sont

713"»-», /i(/i — O^?"-*, ..., n{n — i)...(/i --/>-4-i)ar«-/', n(/i — i)...i

et l'on a, par conséquent, en vertu de la formule (i) du numéro précédent,

Cette formule est connue sous l'appellation, un peu impropre, de formule du binôme. Je vais m'y arrêter un instant, en raison de son importance.

Il me sera commode d'y regarder les lettres a et a: comme y désignant des variables ; à ce point de vue, a 4- ^, (a + x)" sont des polynômes à deux variables ; a -1- x est un polynôme homogène du premier degré ; le produit de deux ou plusieurs polynômes homogènes étant évidemment un polynôme homogène dont le degré est la somme des degrés des facteurs, on peut prévoir que le développement de (a -1- x)" sera un polynôme homogène du degré n, qui ne pourra pas contenir d'autres monômes que les monômes du degré n

a«, a"-*x, a'*?-*x', ..., a'^-Pxi\ .,., x"^

multipliés par certains coefficients numériques; ces monômes, d'après la formule (i), figurent tous dans le développement; il yen a /i -h I ; chacun d'eux contient autant de facteurs x qu'il y a He termes avant lui, autant de facteurs a qu'il y a de termes après lui.

Les coefficients numériques doivent être évidemment entiers, puisque {a -h xY est le produit de n facteurs égaux à a -h x. Dans le second membre de la formule (i), le coefficient de a'^'PxP. à

savoir

est le quotient par le produit des p premiers nombres naturels du

POLYNOMES. I05

produit dep nombres naturels consécutifs dont le plus grand est n et le plus petit n — p -h i, d'où ce théorème d'Arithmétique :

Le produit de p nombres naturels consécutifs est divisible par le produit des p premiers nombres naturels.

Les coefficients numériques des monômes qui figurent dans le second membre de l'égalité (i) sont respectivement

ils se retrouvent dans un assea grand nombre de formules et on les désigne souvent par les symboles

Cn Cn p/i nn nn

0» ^l> ^î» •••» ^py •••> ^nt

C^ désignant (* ), en général, le coefficient du monôme a'^'PxP^ ou le (/> 4- iy*™« coefficient numérique, celui qui en a /> avant lui. Il est à peine utile de dire que la lettre n qui figure en haut dans le symbole C^ n'est pas un exposant, mais un indice, destiné à rappeler la puissance à laquelle on élève le binôme a-{- x. On a CJ = C" = i . Avec cette notation l'identité (i) s'écrit

(a-+-jr)« = Cya«-4-Cya«->a7-+-...-+-C«a«-^x/'H-...-i-C;j;p«;

en y échangeant les lettres a et x^ elle devient

{x -+- aY = CJa:»H- Cyar«-»a -+-. . .h- C,« ar«-/' aP -i- . . . -i- Cja»;

les deux premiers membres sont identiques ; il doit en être de même des seconds, qui doivent donc être les mêmes, terme par terme ; on en conclut Q= Q, C;^= C^^, 0^= qj.^, . . ., et, d'une façon générale, C^ = CJ.^ ; cette dernière égalité, en recourant à la définition des symboles qui y figurent, s'écrit

(') On emploie aussi, avec le môme sens, les notations (/ip), ( )•

'^ \PJ

io6 ciiAPmtE II.

elle devient évidente, en réduisant les deux membres au même dénominateur; C^ et djt^p se présentent alors sous la forme

Cette formule s^applique même dans le cas où p est égal à o ouà/i, si l'on convient de poser o ! = i .

La forme primitive de C", savoir

montre que l'on a

(3) Ci^ = CîLi ''^^"^' ;

d'où un moyen simple pour le calcul des coefficients numériques : le premier est i, le deuxième est /i, le troisième s'obtient, en multipliant n par > le suivant en multipliant le résultat par — - — » le

suivant en multipliant le résultat par 7" > ' "l P^^ exemple, si Ton

prend /j = 10, les deux premiers coefficients sont i, 10, les suivants s'obtiennent en multipliant successivement par |, j, j, |, |, f , |, |t ît?» ils sont 43, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, I : on a donc

(a -+-x)'o= a*<^-t- loa^x -h 45a'a?'-f- 120a'' a?' -h 2ioa*aT*-h 252a*a^

On vérifie, sur cet exemple, ce fait que les coefficients à égale distance des extrêmes sont égaux, en sorte qu'il suffit pour les avoirlous d'en calculer la moitié.

Cft est plus grand que le coefficient précédent, égal à ce coefficient

P plus petit que i, ou suivant que Ton a

ou plus petit, suivant que est plus grand que i, égala 1,

On doit distinguer deux cas, suivant que n est pair ou impair. Si n est pair, il y a un nombre impair de termes dans le dévelop-

POLYNOMES. 107

pemenl : il y a donc un terme au milieu, qui en a - avant lui, - après

lui. Tant que p est inférieur ou égal à -> le coefficient du terme qui

en a/> avant lui est plus grand que le coefficient précédent; les coefficients vont en augmentant jusqu'au coefficient du terme du milieu, qui est le plus grand; ils diminuent ensuite, en reprenant les mêmes valeurs, en ordre inverse; c'est ce qu'on observe dans les développements

( a -+- xy = a^-^ ^ax ■+■ x*^

(a -+- x)^ = n^-\- 4a»a? -f- 6a'j:*-h ^ax^-^x^^

Si n est impair, il y a un nombre pair de termes dans le développement, il y a deux termes au milieu dont l'un a termes

avant lui, dont l'autre a termes après lui. Jusqu'au premier de

ces termes, les coefficients vont en augmentant; le second est égal au

premier, puisqu'il y a précisément termes avant ce premier,

puis les coefficients suivants vont en diminuant, c'est ce qu'on observe sur les développements

(a -h x)^= a'-+- 3a*a7 -h 3ax^-{- x^,

(a -Har)*= a^-h 5 a* a: -h 10 a' a:* -h ioa*ar'H- 5ax^'^ x^.

Si l'on multiplie par a + a: les deux membres de la formule

(a -H a?)» = C; a« -^ Cf a«-» x -+-... -h CJ a^^-PxP -f- ...-+- Cj a?",

on trouve

(a + ar)'»-*-t = C^a^+ï-h (G? -\- CS)a«a7 -4-. . .-+- (G«h- C«, )««-/>-+-» x/'-t-. . . ;

comme on doit avoir d'ailleurs

{a -h ar)"-^! = Cj^* a«+* -h CJ-*-* a» a? -f- . . . -h G^"^» a«-A'-^-l xp-\-,.,\

on voit qu'on a, en général, pour /> = i, 2, ..., /?,

U) G?+i = CJ+G»<,;

formule qui donne une règle simple pour déduire le développement

de (a + a:)"+* du développement de (a H-:?)", et pour obtenir les coefficients numériques dans les puissances successives du binôme, lesquels figurent dans les lignes du triangle de Pascal :

I 5 lo 10 5

A partir de la seconde ligne, chaque élément, autre que le premier el le dernier, toujours égaux à i, est la somme de deux éléments consécutifs de la ligne supérieure, à savoir l'élémebt qui est placé sur la même verticale, et celui qui précède cet élément.

Si, dans la formule (i), on fait successivement a = i, j:=:i, puis a = i , a: = — i , on trouve

Ci' +

Cî

.-i-(-i)'*CS,

la somme des coefficients est égale à 2" ; la somme des coefficients de rang pair est égale à la somme des coefficients de rang impair; chacune de ces sommes est égale à la moitié de la somme totale, c'està-dire à 2"^*.

§ 6. - POLYNOMES A PLUSIEURS VARIABLES.

44. En ce qui concerne la continuité, la méthode suivie pour les polynômes à une variable s'étend sans peine aux polynômes à plusieurs variables; c'est ce que je vais expliquer sommairement dans le cas de deux variables.

Supposons qu'un polynôme à deux variables y(^, ^) soit ordonné de la façon suivante : on écrit d'abord le terme constant, s'il y en a un, puis, s'il y en a, les termes du premier degré en x^ y^ puis les termes du second degré, puis les termes du troisième degré, etc. Quant aux termes d'un même degré, qui forment un groupe homogène, on pourra, pour y mettre de l'ordre, les ordonner par rapport aux puissances ascendantes de l'une des variables, aux puissances

POLYNOMES. 109

descendantes de l'autre variable : J'écris ci-dessous un polynôme du cinquième degié ordonné de cette manière,

3 H- IX —y -h a:* — y^-^r x^-^ x^y — a?* -+- xy^ — y^ ;

les groupes homogènes dont j'ai parlé plus haut, et qui sont respecti- \eiiient des degrés o, i, 2, 3, 5, sont

3, 'ix — y, x^ — y^j x^ -h x^y^ — x^-hxy^ — y^ :

les termes du quatrième degré font défaut.

Si l'on ne considère que des nombres x, y dont les valeurs absolues soient, au plus, égales à i , la valeur absolue du polynôme est, au plus, égaie à la somme de ses coefficients, pris en valeur absolue.

Un polynôme homogène en x, y^ de degré /?, dans lequel x^ y sont moindres en valeur absolue qu'un nombre positif a, est plus petit en valeur absolue que la somme de ses coefficients multipliée par a^.

Par exemple, dans le polynôme en x^ y précédemment écrit, si les variables x^y sont plus petites en valeur absolue que le nombre positif a, les groupes du premier, du second, du troisième, du cinquième degré ont des valeurs qui restent respectivement moindres que 3a, 2a2, 2a», 3a5.

Le lecteur doit se rendre compte que, d'une façon générale, si les variables sont suffisamment petites en valeur absolue, le groupe des termes du premier degré est plus petit que le groupe des termes du ^econd degré, celui-ci que le groupe du troisième degré, etc. Toutefois, il n'en est pas toujours ainsi : si l'on suppose, dans l'exemple précédent, que x soit égal ày, l'ensemble des termes du second degré î»eranul et aura ainsi une valeur absolue moindre que celle des termes du premier degré, si petits que soient :r et y en valeur absolue. Il y a là une différence essentielle avec les polynômes à une variable.

Un polynôme en x, y est nul pour a: = o, jk = o lorsqu'il ne contient pas de terme constant, il n'est nul que dans ce cas.

Quand un polynôme /(^, y) ne contient pas de terme constant, sa valeur reste aussi voisine de o que l'on veut, pourvu que x^ y restent suffisamment voisins de o.

Par exemple, si x^ y sont assujettis a être moindres en valeur absolue que r,, le polynôme