x — y -^x^ — y^-^- x^-Jr x^y — x^-\' xy^ — y

no CHAPITRE II.

est moindre en valear absolue que

et, par conséquent, si l'on suppose vKl i, moindre que lor, ; si l'on veut que le polynôme reste plus petit que s, il suffira de prendre Tj< —

Pour des valeurs de x^ y voisines de o, un polynôme en or, y resle voisin de la valeur qu'il prend pour j: = o, ^ = o, à savoir de la valeur (nulle ou non) de son terme constant. D'une façon précise, quelque petit que soit le nombre positif e, on peut assigner un nombre positif 7^ tel que les conditions | x | < r,, |^ j < t^ entraînent rinégalilé I f^^i y) — /(^5 o) I < 6- Dans cette inégalité, /(o, o) désigne la valeur que prend le polynôme pour x = o, ^ =^ o. La proposition esl évidente puisque le polynôme /(x, y) — /(o, o) ne contient pas «]<• terme constant.

C'est ce que l'on exprime en disant qu'un polynôme est une fonction continue de x^ y pour j? = o, y = o.

Quand le terme constant n'est pas nul, on peut assigner un nombre positif a, tel que si x^ y sont moindres en valeur absolue que a, le polynôme ne soit pas nul et soit du signe de son terme constant.

Si maintenant on veut étndier un polynôme f{x^y) pour les valeurs de x^y respectivement voisines des nombres «, fc, on posera

37 = a -H /t, y — b -Jn k^

et l'on transformera le polynôme en un polynôme à deux variables A, A*, qui ne devront prendre que des valeurs voisines de o. Le terme constant du nouveau polynôme sera la valeur qu'il doit prendre pour A = o. A: = o, c'est-à-dire /(«, b).

Un polynôme f{oc^y) est une fonction continue de jt, y pour X =^ a^ y=b. Voici, au juste, ce qu'il faut entendre par là : quelque petit que soit le nombre positif e, on peut lui faire correspondre un nombre positif?) tel que les conditions

|x— a|<r,, 1^ — 6|<Tj

«entraînent l'inégalité

\fioc,y)~f{a,b)\<^.

POLYNOMES.

4o. Un polynôme à plusieurs variables, par exemple un polynôme /{^j y^ ^) à trois variables x^ y, 5, donne naissance à des dérivées partielles, prises par rapport à ces diverses variables. On peut, si l'on veut, l'ordonner par rapport à Xj le considérer comme un polynôme en Xj et prendre sa dérivée, par rapport à x, d'après la règle du n° 3o. On pourra l'ordonner par rapport à y, le regarder comme un polynôme dont la variable s'appellerait y et appliquer la même règle, pour obtenir la dérivée par rapport à y. De même, pour la dérivée partielle par rapport à 5, .... Au reste, il n'est nullement nécessaire d'ordonner, comme je viens de le dire, le polynôme successivement par rapport à chacune des variables, puisque, en vertu d'une remarque antérieure, on peut appliquer la règle relative à la formation de la dérivée d'un polynôme à une variable sans avoir réduit ce polynôme.

Le polynôme proposé, s'il a trois variables, sera formé d'une somme de monômes dont chacun sera de la forme A j^^j-PcT, a, p, y étant des nombres entiers, positifs ou nuls : ce terme fournira dans les dérivées partielles, prises respectivement par rapport k x^j ^ Zj des termes qui seront respectivement égaux à

a A ara-ijP^Y, ^Xj^y?-^ 2Y, 7 A ar^^P z^ ' ;

pour avoir l'une des dérivées partielles, la dérivée par rapport à x^ par exemple, on fera la somme de tous les termes analogues à aAj?*"*^PzT^, déduits de chaque monôme.

11 est à peine utile d'observer que si a était nul, si la variable x ne figurait pas effectivement dans le monôme considéré, celui-ci n'introduirait aucun terme dans la dérivée partielle prise par rapport à x.

Les dérivées prises par rapport k x^ y, z du polynôme /{x^ JK, ^) dont on vient d'expliquer la formation se désignent respectivement par/;,/;,/;.

Si l'on a, par exemple,

on aura

/i = 2-4- a^, /; = i-h Gyz, fi =- 23 H- Zy^.

Les dérivées du monôme A:r«^PzY, qui est du degré a -j- p -t- y, sont évidemment du degré a H- ^ -h y — i , si aucun des exposants a, ^, y n'est nul; si quelqu'un des exposants est nul, une des dérivées

partielles est identiquement nulle; on déduit de là facilement que, si un polynôme est de degré /i, ses dérivées partielles sont au plus de degré n — i .

La définition des dérivées partielles d'un polynôme à plusieurs variables peut être rattachée à la définition de la dérivée d'un polynôme à une seule variable.

Je continue de raisonner sur un polynôme /{x^y^z) à trois vàriables x, y^ z» Je suppose que, dans ce polynôme, on remplace x, Xy z respectivement par x -h A, y -h f^^ z -i- l] on peut développer chaque terme, et réduire ensuite le polynôme comme si x, y^ z élaienl les constantes et A, A", / les variables; c'est-à-dire qu'on réunit ensemble les termes qui contiennent un même monôme en A, X-, 1 : on parvient ainsi à une identité de la forme

où N, P, Q, R, ... sont des polynômes en x^ y, z qui ne contiennent pas A, Aj /; les termes non écrits contiendraient des monômes en A, A", /qui seraient du deuxième, du troisième, . . . degré. Cette identité, devant avoir lieu quels que soient A, A", /, a lieu pour A = o, A* = o, / = o, ce qui montre que N n'est autre chose que le polynôme f(x,y,z) lui-même; elle doit avoir lieu, quel que soit A, quand on suppose A* := o, l = o; il en résulte que P est le coefficient de A, dans le développement, ordonné suivant les puissances croissantes de A, du polynôme /(or -h A, j', z) obtenu en remplaçant x par x + //, dans le polynôme /{^jy,z) : P est donc, par définition, la dérivée partielle dn polynôme f{^j y, z) prise par rapport à :r; de même Q et R sont les dérivées partielles du même polynôme prises par rapport à y el d z.

Ainsi les dérivées partielles d'un polynôme /{^^y^^) sont les coefficients respectifs des termes du premier degré en A, A', / dans le développement du polynôme en A, A% / obtenu en remplaçant dans /(x, y, z) x, y, z par x -{- h, y -{- k, z -^ l.

Si l'on désigne par a, 6, c des nombres quelconques, et si Ton remplace, dans l'identité (i), x^y, z respectivement para-f-x, 6 4-/? c -\- z, on voit apparaître immédiatement la proposition suivante :

Les dérivées partielles du polynôme /{a-hx, b-^y, c 4- -s) par rapport à x, y, z s'obtiennent en remplaçant dans les dérivées par-

POLYNOMES. Il3

lieDes /;, /;, /J du polynôme f{x,y, z) x, y, 5 para + ^, 6 -^y,

46. Les dérivées partielles /j , /^, /^ du polynôme f{x^y^ z) sont dites du premier ordre] f'j^^ f'y,, /^ sont des polynômes en J7, y^ z, admettant eux-mêmes des dérivées partielles par rapport k x^ y^ z : ces dérivées partielles sont dites les dérwées partielles du second ordre de/(j?,^, z) : elles engendreront à leur tour des dérivées partielles du troisième ordre, etc.

Si le polynôme /(^Tjj^, z) est du degré ai, ses dérivées partielles du premier ordre sont au plus de degré n — i , ses dérivées partielles du second ordre sont au plus du degré n — 2, . . .; ses dérivées partielles du [n — iy*n>* ordre sont au plus du premier degré; quelques-unes de ces dérivées peuvent d'ailleurs être des constantes ou élre identiquement nulles; en tous cas les dérivées partielles du /i'*'"** ordre sont certainement des constantes, dont quelques-unes peuvent être nulles; les dérivées partielles d'ordre n -{- 1 sont identiquement nulles ainsi que toutes celles d'ordre supérieur à //.

La dérivée partielle /^, du premier ordre, admet trois dérivées partielles prises respectivement par rapport à :c, ^, 3 ; on les désigne respectivement par

fxxi fxyy Jxz'

Les dérivées partielles de /' , prises respectivement par rapport à x, 7, z se désigneront de même par

/r-c» fyyt fy^'»

les dérivées partielles de/j par rapporta a?, y, z se désigneront enfin par

/!., fiy, n.

11 semble donc qu'un polynôme à trois variables admette neuf dérivées partielles du deuxième ordre, vingt-sept du troisième, etc. Toutefois, tous les polynômes que Ton obtient ainsi ne sont pas distincts : par exemple, les deux polynômes f' et /' sont identiques.

En d'autres termes, on peut, dans une dérivée seconde, intervertir Tordre dans lequel on prend les dérivées.

Comme la dérivée d'un polynôme s'obtient en faisant la somme des T. 8

Il4 CHAPITRE II.

dérivées de ses termes, il siiffil évidemment de constater la vérité de la proposition énoncée sur un terme Ax^y^z^ du polynôme ou, si Ton veut, sur un polynôme réduit à ce terme.

La dérivée partielle prise par rapport à x est aA:c*~'^?^T; la dérivée partielle de ce résultat, par rapport ky^ est a^Ax*"*^'P"'wT; on serait arrivé évidemment au même résultat en prenant d'abord U dérivée partielle par rapport ky, et la dérivée partielle du résultat par rapport à J7. On a donc/;,=/;^,/;^=/;^, ....

Il n'y a, pour un polynôme en J7, j^, s, que six dérivées partielles du second ordre, que l'on peut désigner par

Jji*i J)*y Jz*i Jyzi Jzx') yx)»

en donnant respectivement ày^., /^,, fl^ le même sens qu'ày^J^j^., f^^^ fU. Si l'on considère, par exemple, le polynôme homogène du second degré à trois variables x^ y^ >3,

o(a:, y^ z) = ax^^ a' y^-^ a' z--^ ibyz -h 'xb' zx -\- ib'xy^

on aura

^'j.=z-x{ax •^- b" y -{- b' z)^

^y = 'lib' X -4- o! y-^- 6i;),

(pl = QL^b' X H- by ■+- a' z)^ ç".« = la, cp'»'« = 2 a', cpst = 2 a', oJ,-=a6, <p:j=2^', ^"jcy^'ib".

Une dérivée partielle ^'«"^ du polynôme f{x^ y^ z) sera définie quand on dira par rapport à quelles variables on doit successiveinenl prendre chacune des dérivées : pour que l'on ait affaire à une dérivée /?*•-*'"", il faut que l'on prenne p dérivées; mais peu importe l'ordre dans lequel se prennent ces dérivées, pourvu que l'on prenne toujours le nombre indiqué de fois la dérivée par rapport à Xy pr rapport à y, etc. Le théorème relatif à la possibilité d'intervertir l'ordre de deux dérivées s'étend en effet absolument comme le théorème relatif à l'interversion des facteurs dans un produit. La démonstration comporte les étapes suivantes :

Dans une dérivée partielle quelconque, on peut intervertir l'ordre dans lequel on prend les deux premières dérivées, l'ordre dans lequel on prend les deux dernières, l'ordre dans lequel on prend deux déri-

POLYNOMES.

vées conséculives quelconques, Tordre dans lequel on prend les di- \ erses dérivées.

De cette proposition résulte la notation pour désigner une dérivée ^'^"« ; on la représentera par un symbole tel que

où a, p, Y sont des entiers positifs ou nuls dont la somme est/?; supposons d'abord qu'aucun des nombres a, P, v ne soit nul. On devra partir de/{x^ y^ z)^ prendre la dérivée par rapport à x^ la dérivée du résultat par rapport ù :r, etc., et ainsi de suite a fois. On forme ainsi successivement les polynômes

Jx'i yji'î /jr«i •••» /j