XL

on part du dernier, on en prend la dérivée par rapport à y, la dérivée du résultat par rapport à y^ etc., et ainsi de suite P de fois; on forme ainsi les polynômes

on prend ensuite les dérivées par rapport à ^, et l'on forme les polynômes

dont le dernier est celui que l'on cherche.

Si a était nul, le symboleyJ.r?.T, où l'on devrait alors avoir^ -hY = /?, aurait, par définition, le même sens que /lisT? etc.

47. Cherchons la valeur, pour a? = o, ^ = o, 3 ^ o, de la dérivée />**""* d'un monôme k.x^y^zt^ où a, 3, Y sont des nombres entiers positifs ou nuls; il est clair que, si l'on doit prendre la dérivée par rapport à x plus de a fois, ou la dérivée par rapport à y plus de ^ fois, etc., le résultat sera identiquement nul; si l'on doit prendre la dérivée par rapport à x moins de a fois, il restera dans le résultat un ou plusieurs facteurs x\ ce résultat sera donc nul pour x = o.

Si donc aucun des nombres a, p, y n'est égal à o, la seule dérivée du monôme Kx^y^z'^ qui ne soit pas nulle pour a7 = o,j^ = o,;; = o s'obtient en prenant a fois la dérivée par rapport à ^r, p fois la déri-

Il6 CHAPITRE II.

vée par rapporl à ^, y fois par rapport à -3 ; sa valeur est

a(a — i)...ix P(P— i)...ixy(Y — 0---1X A.;

si a était nul sans que ,3, y le fussent, la dérivée devrait être prise p fois par rapport à j^, y fois par rapport à 5; elle serait

On peut la représenter dans tous les cas, avec les conventions expliquées au n** 43 par le symbole a! p! y! A.

Un polynôme réduit /(j?, j^, z) est la somme de monômes tels que Ax^yPz^j tous distincts. Il résulte de la remarque précédente que la dérivée d'ordre a -|- ^ -|- y de ce polynôme, que Ton est convenu de représenter par le symbole /[.Î'^^t^^\ même dans le cas où Tun des nombres entiers a, P, y est nul, se réduit pour x =^ o^ y = 0^ 5 = àa! p! y ! A; inversement le coefficient numérique du monôme x^y^z"^ qui figure dans le polynôme s'obtient en divisant par a! p! y! la dérivée/^? "5 ^t^^^ dans laquelle on a remplacé x^y^ z par o.

48. Je vais appliquer cette règle à la recherche des coefficients du développement du polynôme {x-\-y-\-zY^ n étant un nombre naturel. Ce polynôme en x^ y,, z est évidemment homogène et du degré n; quand il est développé, il est la somme de termes delà forme x^y^z'^^ où a, p, y sont des entiers positifs ou nuls, dont la somme est égale à /i, multipliés par des coefficients numériques que l'on détermine par la règle précédente.

Les dérivées premières de (o^ + ^-f-^)", par rapport à x^ y^ z. s'obtiennent par la règle d'après laquelle la dérivée de (x + rt)*, quand a est une constante, est égale à /i(x + a)''"*. Ces trois dérivées partielles du premier ordre sont égales à ai (j? -j-^ + ^)" "S 'es dérivées secondes sont de même toutes égales à /i (/i — i ){x -h y H- ^s)""', etc.; toutes les dérivées /i*«">«» sont égales à /i(/i — i)(ai — 2)...i ==/*! Le coefficient de x^y^z"^ est donc égal à

et le développement du polynôme {x -^ y -{- z)" est égal à la somme

POLYNOMES.

de tous les monômes distincts de la forme

aT^"^*-^^^^

que l'on peut former en prenant pour ce, 3, y des nombres entiers positifs ou nuls dont la somme soit égale à n.

Si, par exemple, n est égal à 2, la somme des nombres a -f- ^ -h y (levant être égale à 2, l'un de ces nombres peut être égal à 2, les deux autres étant nuls; deux des nombres peuvent être égaux à un, l'autre étant nul.

Autrement dit, il peut y avoir, dans le développement, des termes en X*, eny^^ en 5*, enyz, en zx, en xy; il ne peut y en avoir d'autres. Le coefficient numérique des termes en x^,j^2, 5^ est égal à -j — '^^ = 1;

le coefficient numérique des termes en ^5, zx, xy esiégdilk ^ \ = 2. On a

( X -h y -h z)^ = x^ -^ y^ -h z^ -h lyz -k- izx -\- ixy.

Si Ton suppose n = 3, on reconnaît de même qu'il doit y avoir, dans le développement, des termes en^',j>^'^, z^ dont le coefficient esti, des termes en^^^^ ^ij^ j.2;^^ ^2^^ x'^y, y^x dont le coefficient

est 3; un terme en xyz dont le coefficient est 6. On a donc

é (x -^ y -^ zy = x^ -h y^ -h z^ -h 3y^z -h Zz^y -¥ Sz^-x -^^x^z

-h 3x'^-4- Zy^x '\- 6xyz,

Le lecteur reconnaîtra sans peine que la méthode donnée pour obtenir le développement de (:c H- j^ + 5)" s'applique au développement de la puissance n*^"" de la somme d'autant de variables que l'on veut; il pourra aussi retrouver par cette voie la formule

ix -\- y^" x^ x'^ — ^ Y x^~^ v' x^^~^ v' v"

ïTi ^ ^"^(n — I)! 1! '^ (n-7.]\il "*"(/i — 3)!3Î '^"•'^ ^Tf

qui résulte d'ailleurs des formules (i) et (2) du n° 43.

49. Enfin, si l'on désigne para, 6, c trois nombres quelconques, la même méthode s'applique à trouver le développement du polynôme ^nx,j^, z,f(a H-x, 6 -j- j', c-i- 5), obtenu en remplaçant les variables •r, j, :; par a-f-^, 6 + ^, c-h^ dans le polynôme /(^, ^j 5 ).

Le coefficient du terme en x'^ y^z^ s'obtiendra en divisant par

Il8 CHAPITRE II.

a! ^! y! la valeur pour j? = o, y = o, 5 = o de la dérivée d'ordre a -h p H- Y du polynôme y(a -h x, b -{- y^ C'-\- z) prise a fois par rapport k x^ ^ fois par rapport à^, y fois par rapport à :;. Or, en vertu d'une remarque antérieurement faite pour les dérivées du premier ordre, et qui s'étend de suite aux dérivées d'ordre quelconque, cette dérivée se déduit de la dérivée /^.? "S ^t"^^^ en y remplaçant x, j', z respectivement par a-{-x^b-\-y^c-^z. Sa valeur pour ^ = o, y = o, 5 = s'obtiendra donc en remplaçant, dans cette même expression /xV^^^^ ' ^*j.>') ^ para, 6, c; on convient de représenter le résultat par le symbole

Avec cette notation, on voit que le coefficient du terme en j:*/?-» s'écrit

et le terme lui-même peut s'écrire

le développement cherché est la somme de tous les termes distinclf de cette forme qui ne sont pas identiquement nuls.

11 est clair que l'on n'aura pas à écrire de term?s pour lesquels a H- p -h y dépasse le degré n du polynôme f{x, y^ z),

La règle précédente ne s'applique pas au terme indépendant de /, y^ z, mais on sait déjà que ce terme, qui peut s'obtenir simpleinenl en remplaçant ^,j^^, z paro dans/(a -f- ^, 6 -+-^, c 4- -s) est/(a,6,t').

Il est naturel de grouper ensemble tous les termes qui ont le même degré p^n enx,y^ z : ces termes sont de la forme (1), en supposant a4- p -f- Y=/>.

En supposant/) = 1, leur ensemble est

où/^, /^, /^ désignent les valeurs de/^.,/^, /^ quand ony remplace/, y^ z respectivement par rr, 6, c; c'est, à part la différence des notations, une observation qui a déjà été faite au n° 4o ; l'ensemble des termes du second degré est