POLI-NOMES

^^^ yi«? yi»? k/c»? f^bc^ /cal fah représentent respectivement les valeurs des dérivées secondes y^,, ^",, fl^^ fy^^ fl^.^ f^y, quand on y remplace x^ y^ z par a, b^ c, cet ensemble pourrait s'écrire symboliquement

à la condition de remplacer, dans le développement de ce carré, effectué par la règle donnée dans le numéro précédent,

(/i)*, (A)'. (AY. f'JU f'cA. faft

par

/«'» fb*t A*y fbct fca'i /aA-

Cette observation est générale, comme on le reconnaît en se reportant à la règle pour obtenir le développement de la puissance z?'®"** d'une somme de trois termes ; Tensemble des termes du ^'èmc degré en Xj y^ z peut s'écrire symboliquement

jli^A-^yfi'^^Ay.

en supposant que Ton a d'abord effectué le développement de la puissance /?'*"**, puis que l'on y a remplacé le terme

a ! P ! Y i où a -h P 4- Y est égal à /?, par

on est enfin parvenu à la formule symbolique

il) /{a ^x.b-^y.c-^z) =Aa, h, c) h- xf^-^y/'i,-^ zf'^

' i^rf^+yn+^J'c)"

' (^/iH-r/ô+VcA

Celte formule, avec des modifications insignifiantes, s'applique à des polynômes à autant de variables que l'on veut.

Si on l'applique, par exemple, au polynôme du second degré à deux variables

dans lequel on a

/i=2(AarH-Bj^-f-D) /;=2(B:r-4-Gj^-4-E), /î> = a A , f^y =28, /^> = 2 C,

on aura, symboliquement,

et, d'une façon explicite,

fia-^x.b'k-y) =f{a,b)^xfl^-^-yfi,^'{{x^f^^-^1xyfah-^y^fb*) = /(a, ^) -h2iP(Aa -h B6 -h D) -h 2>-(Ba -f- G6 -4- E)

on voit, par cette formule, que l'ensemble des termes du second degré est le même dans le polynôme

/(a -^x,b->r y)=^ A(a7-i-a)*-4-2B(ar-f- a){y -{- b) -\-C{y -hby -h2D(a7-+-a)H-2E(j^H- 6)-4-F,

que dans le polynôme /(^, y) : cela était aisé à prévoir, les termes da second degré dans le développement de /(a -\- x, b -h y) proviennent des termes du second degré de /{Xj y). Or, quand on développe A(x -\- a)^^ ]e seul terme du second degré est évidemment Ax'; quand on développe 26(^7 -|- a) (y + 6), le seul terme du second degré est 2Bjy, etc. Ce résultat est général : si /{x^y, z) est un polynôme du degré /i, l'ensemble des termes du degré /i dans le développement du polynôme /(a -{- x, b -\- y^ c -|- :;) est identique à l'ensemble des termes du degré n dans/(^,jK, z),

La formule (2) s'applique sans modification à un polynôme homogène du /i*«™« degré.

Je vais l'appliquer au polynôme homogène du second degré

^{x, yyZ)= ax^ -\' a' y^ ->r a" z^-^-'xbyz -^ib' zx -^ib'xy^

POLYNOMES. 121

en j remplaçant toutefois les lettres a, 6, c par ^oj^o» ^o et en remplaçant X, y, 5 par kx^ ky^ kz : elle donne alors pour l'expressfon de9(jro4-A:x,^o-f-^Tî ^a-^-kz)

-^ - (^'?x2^-r*?rî-^ -*?"^a-^ 2r>5?;.5.-i- 2^379^^^^-*- 2^-^?;^^,

ou y^^, o],^, . . ., (p^^^^ désignent ce que deviennent les dérivées partielles ix^ ?/) • • •' ixT quand on y remplace x^ y, z par a^o, y^^ z^.

On adonné au n** 41 les valeurs de ces dérivées; en remplaçant les dérivées secondes par leurs valeurs, on obtient l'identité

^jv i 9(^0-^ kx, yo-+- ky, Zo-h kz)

1 = 9i^i>y ror So)-h k{x^',.^-hy^'y.^-^ z^'^J-h k*^{x, y,js);

au reste, que l'ensemble des termes du second degré en x^y^ z dans le développement de (f{xQ-^kx^ yo-hky, Zq -{- kz), soit égal à k^^{Xj y, z), c'est ce qu'on pouvait prévoir par le raisonnement utilisé à la fin du précédent numéro.

L'identité (i) a lieu quelles que soient les valeurs attribuées aux lettres x^, y^, 5©, x, y, z : supposons qu'on prenne Xo = x,yo=:yj Zt=zz. Le premier membre o[x(i -h k),y(i -+- k)j z(i -h ky] s'obtient en remplaçant, dans le polynôme homogène ç(:r, y, s), x, y^ z par Jr(i4- Ar), y(^i -f- A"), z{i -\- k); chacun des monômes qui constituent 3(x,j,z) se trouve alors multiplié par(i -f- ky, en sorte que le premier membre de notre identité n'est autre chose que ^(x^y, z) (i -f- A")^ ; elle devient donc

?(^, yr ^)(i -^ k)^ = 9(x, yy -)-f- kix^l^-^-y^'y-^- z^L)-\-k^<f{x, y, z);

cette dernière identité doit avoir lieu quel que soit le nombre A*; si donc on ordonne suivant les puissances de k, les coefficients d'une même puissance de k doivent être les mêmes dans les deux membres. La comparaison des termes indépendants de k et des termes en k^ n apprend rien : la comparaison des termes en A" donne l'identité

(2) ^9(^,yi^)=iP?x-^y'fy'^^?zi

qui se vérifie immédiatement en remplaçant o^, cp' , o^ par leurs expressions développées.

Le même mode de raisonnement s'applique à un polynôme homogène /(^,j', 5) de degré n et conduit, comme le lecteur n'aura aucune peine à le voir, à l'identité symbolique

(3) (^/i -^yf;-^-zfL)P^ n(n- i){n — 9.) . . . (n — /? -4- ï)/(x, y. z),

où p est l'un quelconque des nombres 1,2,..., n. En particulier, pour y? ^ I, on obtient l'identité suivante, qui est une généralisation immédiate de l'identité (2),

(4) ^fx-^yfy^^fz-^nfix.y^z).

En raison de l'importance de cette identité, j'en indique une aulre démonstration :

Elle se vérifie de suite en prenant pour f{x^y^ z) un monôme du degré /?, kx^y^zt^ dont les dérivées sont respectivement

en sorte que le premier membre se réduit à

(an- p4-Y)Aar*7?5Y;

comme un polynôme homogène y"(^, y, z) est la somme de pareil? monômes la proposition est évidente.

Le lecteur reconnaîtra sans peine que si un polynôme /(x, /, -j vérifie l'identité (4) il est homogène et de degré n; il suffit, pour cela, de décomposer le polynôme en groupes homogènes.

Revenons à l'identité (i) relative à un polynôme homogène du second degré; le premier membre s'obtient en remplaçant dans

X, y, z par

Xq-^ kxy y^-^ ky^ 5o-+-A:3,

ou, ce qui revient au même, par

H--?)' iy-'i)' <-?>

ou encore, en multipliant chacun des monômes qui constituenl

POLYNOMES. 123

3(x, j, z) par A*^ et en y remplaçanl ensuite x,y^ z par

^^T' -^^T' '^1' en d'autres termes, le premier membre peut s'écrire

mais en vertu de Tidentité (i) elle-même, dans laquelle on remplace k par jry x,XjZ par a^o, J^'o, -o et ^r^, yo, Zo par jr, j^, :;, on a

l'identité (i) peut donc s'écrire sous la forme

On en conclut, en comparant les termes en A, que Ton a identiquement, quels que soient x,jKî ^î ^o>^o> ^O)

(5) ^o?x-*-ro?r-^'5o?z = ^?x,-»-r?r.-^^Tv

Ce résultat, qui a une grande importance en Géométrie analytique, se vérifie d'ailleurs immédiatement en remplaçant©^, ç' , o^ parleurs expressions explicites ; le premier membre devient alors

2XQ(ax -\- b'y -h b' z)-h 2yo(b''x -h a'y -{- bz)-h'iZo{b'x-h by-ha'z); il peut s'écrire

-H %b'{zoX-hXoz)-^ '2b''ixoy-^-yox);

sous cette forme, on reconnaît de suite que ce polynôme en or, y^ 5, •^oj^'oj Zo reste le même quand on échange les lettres x^y^ z et Xqj /«î So- Cette même forme, d'ailleurs, met de suite en évidence 'identité (2), en supposant Xq =-- x, jKo = JK, Zqz= z.

L'identité (5) est spéciale aux polynômes homogènes du second degré ; elle est toutefois un cas particulier d'identités concernant les poJynomes homogènes du /i*«'"« degré, qui se démontrent par la même méthode qui nous a conduits à l'identité (5) et que je me contente de transcrire. On a pour les valeurs i, 2, ..., n — i du nombre/?

(fi)

jy {^f^.-^yfu-^^f'.y= {n^p)\ ^'''^' -^^o/; -t-^^o/:)"

où les puissances ont le caractère symbolique sur lequel on a insisté à plusieurs reprises.

On a encore

EXERCICES