Soit a un nombre positif moindre que i, on a

Soient A la plus grande des valeurs absolues des coefficients du polynôme /(ar), x' la valeur absolue de x, B un nombre positif quelconque : la

valeur absolue de /(a:) est moindre que jy si x est moindre que i ; elle

est moindre que B, si l'on a a:'< -t rr-

La valeur absolue de x^/{x) est moindre que B si l'on a

, ^ — B -I- /T3(Bh-4A) ^< Tk

19. Pour quelles valeurs de x la courbe (G), définie par l'équation (n* 31)

est-elle au-dessus ou au-dessous de la tangente au point de la courbe située

•^"^ »>^ ^ *• I POLYNOMES. I -25

sur l*axe des j^, au-dessus ou au-dessous de la parabole définie par l'équatiou

7= 3 — aarH-4ar«? K<:S Déterminer la tangente à la courbe (G) aux points d*abscisses i et 4-

-50. Déterminer un nombre positif a tel que, si la valeur absolue de x est supérieure à a, la valeur absolue du polynôme 3 — ix -^ ix^ — 5iF'-f- rr* soit plus grande que looo. ^

21. Si un polynôme /(â?) a tous ses coefficients positifs, sa valeur augmente avec celle de a?, quand x est positif. S'il ne contient que des termes de degré impair, sa valeur augmente avec celle de x, quel que soit:r; s'il ne contient que des termes de degré pair sa valeur diminue quand x augmente en restant négatif.

Si le nombre A est positif, la valeur de l'expression (a: -h A)" — x"^ augmente avec celle de x quand x est positif.

22. Si un polynôme /{x)^ de degré n, est positif ainsi que ses n dérivées, pour a: = a, sa valeur va en croissant avec celle de x, quand x est plus grand que a : cette valeur, quand x est plus grand que a, reste donc toujours positive.

!23. Il est souvent commode d'introduire en avant des coefficients d'un polynôme de degré n les coefficients numériques G',*, GJ, . . . , G J de la puissance n^*™* d'un binôme; d'écrire, par exemple, les polynômes du deuxième et du troisième degré sous les formes

ax^-h^bx -^ c, ax^-hSbx^-{-3cx -^ d,

et le polynôme du /i'*™* degré sous la forme

f{x) = aç,x^-h Gïa,ar«-»-4- G5a2a:«-îH- ...-+- CZanj

où ao, ai, . . ., an sont des constantes.

Montrer que l'on a, en désignant par/t/'J(a?) la dérivée />'"•"• de /(a?),

•f^''^^^^ = G«(aoa?«-P-*- Cl-Puix^-P-^ -*- Gï-^a,a7«-^-»-+- ... -h G"!^/?,,-;,).

24. En conservant les notations de l'exercice précédent, soit a la plus grande des valeurs absolues des constantes «o» ^ii ' • "> <^n\ soient a:' et Ii' les valeurs absolues de x et de /i, on a

\f{x -h h) —f(x) I èa[(x'-h h' -h i)«— (x'-i-i)^].

Si Ton suppose que la valeur absolue de x reste inférieure au nombre positif A, le second membre de la dernière inégalité est plus petit que

Dans les mêmes conditions on aura, en désignant par e un nombre positif quelconque,

|/(a;^/0-/(x)|<e; si l'on a

(A-hi)«+ - — A — I

25. Soit a la plus grande des valeurs absolues des constantes ai, a^, ..., ^/i dans le polynôme

f{x) =a:«4- CïaiX"-»-f- g; aja:'»-»-^... -4- es an;

on a, pour toutes les valeurs positives de x^

le polynôme /(a?) est positif pour toutes les valeurs de x qui vérifient l'inégalité

va 4- I — va